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Mensagem não lidapor **ALDRIN** » 08 Dez 2015, 12:40 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » 08 Dez 2015, 12:40

No sistema de coordenadas cartesianas [tex3]\text{x}O\text{y}[/tex3] , em que a unidade de medida de comprimento é o centímetro, considere o conjunto [tex3]A=\{(\text{x},\ \text{y})[/tex3] tais que [tex3]|\text{x}|\ +\ |\text{y}|\ \leq \ 1}[/tex3] , para julgar os itens que se seguem.

(1) O perímetro de [tex3]\text{A}[/tex3] é igual a [tex3]4\ \text{cm}[/tex3] .
(2) A área de [tex3]\text{A}[/tex3] é igual a [tex3]2\ \text{cm}^2[/tex3] .

Resposta

E, C

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 08 Dez 2015, 23:41 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 08 Dez 2015, 23:41

A equação $x+y=1$ , ( $y=1-x$ em sua forma reduzida), determina o seguinte gráfico no plano cartesiano:

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Suponha que o par ordenado $(x_1, y_1)$ seja solução da equação dada.

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Obviamente, para qualquer $x_2\leq x_1$ e $y_2\leq y_1$ , teremos $x_2+y_2\leq 1$ .

Nas condições acima, qualquer ponto de coordenadas $(x_2,y_2)$ estará localizado na mesma região (a reta divide o plano em duas regiões) da do ponto mostrado abaixo.

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Temos, então, que a inequação $x+y\leq 1$ determina a região formada por todos os pontos $(x_2,y_2)$ tais que $x_2\leq x_1$ e $y_2\leq y_1$ , onde $(x_1, y_1)$ é solução da equação $x+y=1$ .

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Agora, a entrada dos módulos.

Com o uso deles, o que acontece é que os sinais deixam de importar. Em outras palavras, se $(a,b)$ é solução da equação $x+y=1$ , então $(a,b)$ , $(a,-b)$ , $(-a,b)$ e $(-a,-b)$ são soluções de $\mid x\mid+\mid y\mid=1$ .

Ainda de outra forma, podemos dizer que as soluções de $\mid x\mid+\mid y\mid=1$ correspondem à união das soluções das 4 equações abaixo:

$x+y=1$
$x+(-y)=1$
$(-x)+y=1$
$(-x)+(-y)=1$ , onde, no plano cartesiano, teríamos o seguinte gráfico:

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Agora, analisando apenas mais uma das equações derivadas da modular.

Veja que, por exemplo, na equação $x+(-y)=1$ , ao termos o sinal de $y$ invertido, para qualquer $x_2\leq x_1$ e $y_2\ {\color{red}\geq}\ y_1$ , teremos $x_2+y_2\leq 1$ . Com isso, o gráfico que representa esta inequação é o seguinte:

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E se você analisar/desenhar o gráfico das outras duas equações, verá que, no final das contas, todo o plano será tomado, sendo a região delimitada pelas quatro retas a interseção das quatro regiões (uma de cada inequação), sendo, portanto, a solução da inequação $\mid x\mid+\mid y\mid\leq1$ .

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Bem, agora você tem um quadrado cujo lado mede $\sqrt{2}$ e fica fácil validar as afirmações.

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