Pré-Vestibular ⇒ (UESB-2012) Matrizes

[Garibaldi]

Uma matriz quadrada

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[tex3]A[/tex3]

, diz-se involutiva quando

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[tex3]A^2=I_n[/tex3]

na qual

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[tex3]I_n[/tex3]

é a matriz identidade de ordem

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[tex3]n[/tex3]

. Nessas condições, o número de matrizes diagonais

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[tex3]A[/tex3]

involutivas, de ordem

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[tex3]2[/tex3]

, que existem é

01) 5
02) 4
03) 3
04) 2
05) 1

Resposta

---

04

[jrneliodias]

Olá, Garibaldi.

As matrizes diagonais de ordem 2 são na forma

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[tex3]\begin{pmatrix}
x & 0 \\
0 & y \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Para ela ser involutiva,

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[tex3]\begin{pmatrix}
x & 0 \\
0 & y \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
x & 0 \\
0 & y \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix}
x^2 & 0 \\
0 & y^2 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Então, nossas matrizes involutivas de ordem 2 serão

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[tex3]\begin{pmatrix}
\pm 1 & 0 \\
0 & \pm 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Portanto, duas matrizes.

Espero ter ajudado. Bons estudos.

[Garibaldi]

Mas não deveriam ser 4?

[jrneliodias]

É alternativa 04.

Note também que não podemos permutar os sinais. Veja que a matriz a seguir não é involutiva:

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[tex3]\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Espero ter ajudado.

[Garibaldi]

O gabarito deve estar errado então, obrigado!

[dudaox]

Para ser involutiva só pode ter o resultado com 1 positivo, é isso ?