IME/ITA

epharius · Mensagem não lida por **epharius** » 18 Nov 2015, 16:57

Um poço é cavado de um planeta até seu centro e la dentro é colocado um corpo de massa m. sabendo que o planeta tem massa M e raio R calcule a minima velocidade de escape. (Constante Gravitacional = G).

Resposta

[tex3]\sqrt{\frac{3GM}{R}}[/tex3]

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 18 Nov 2015, 20:57 · 18 Nov 2015, 20:57

Inicialmente, vamos admitir que o planeta tenha simetria esférica; isto é que a densidade pode ser escrita com $\rho = \rho (r)$ onde r é um raio. Isso significa que não importa para a direção que olhamos, a densidade é sempre a mesma numa casca esférica de centro no centro do planeta e raio r.

Vamos admitir um modelo de simplificação em que o planeta tenha densidade constante. Suponha que ele esteja à uma distância r do planeta de raio R. Temos:

$\rho = \frac{3M}{4\pi R^3}= \frac{3M'}{4\pi r^3} \Rightarrow M'= \frac{M}{R^3}r^3$

Pode-se ser demonstrado que se r < R então as camadas esféricas de raio > r não exerce nenhuma força sobre o corpo, de modo que:

$F= -\frac{GmM'}{r^2}= - \frac{Gm}{r^2} \left( \frac{Mr^3}{R^3}\right)= - \frac{GmM}{R^3}r$
Logo:

$U(r) - U(R) = - \int_R^r F(r') dr' = - \int_R^r- \frac{GmM}{R^3} r dr' = \frac{GmM}{2R^3} \left r'^2 \right|_R^r$
$U(r) - U(R) = \frac{GMm}{2R^3}(r^2 - R^2)$

Para o nosso caso em específico, r = 0 de modo que:

$U(r) - U(R) = \frac{GMm}{2R^3}(-R^2) =- \frac{GMm}{2R^3}$
$U(r) =- \frac{GMm}{2R}- \frac{GMm}{R}= - \frac{3GMm}{2}$

Agora, basta aplicar a conservação da energia mecânica. Temos:

$U+K = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3MmG}{2R} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{3GM}{R}}$

epharius · Mensagem não lida por **epharius** » 19 Nov 2015, 16:27

Você consegue ver um modo de resolver sem ultilizar do calculo ? pois esse problema foi proposto pelo Professor Renato Brito em um fórum, entao acredito que tenha uma maneira de resolve-lo sem ultilizar o Calculo Integral.

Agradeço desde já.

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 19 Nov 2015, 21:18 · 19 Nov 2015, 21:18

Só usar a interpretação geométrica da integral, amigo!
Veja que a integral representa a área sobre a curva (que no caso é uma reta) e o eixo dos x. Lembre-se que a variação de energia potencial é igual o negativo do trabalho realizado e que o trabalho é numericamente igual a área do gráfico de F versus x e o eixo x.

epharius · Mensagem não lida por **epharius** » 20 Nov 2015, 21:11

LucasPinafi escreveu:Só usar a interpretação geométrica da integral, amigo!
Veja que a integral representa a área sobre a curva (que no caso é uma reta) e o eixo dos x. Lembre-se que a variação de energia potencial é igual o negativo do trabalho realizado e que o trabalho é numericamente igual a área do gráfico de F versus x e o eixo x.

Bom vamos lá. primeiramento peço perdão pela ignorância (e pelos desenhos feitos no paint hehe) de nao entender de fato oque você fez com a densidade, então decidi resolver do meu jeito, segue a minha resolução junto ao meu problema:

Bom como o corpo esta no centro do planeta(um ponto com raio r), assim que ele for chutado para fora a força gravitacional exercida sobre ele sera menor, logo encontramos um grafico como o abaixo:

: Grafico Fg x d (Força Gravitacional x Distancia do centro); Grafico Fgxd.png (3.89 KiB) Exibido 1867 vezes

Então a Energia gravitacional (Eg) é numericamente igual a área logo:

Eg = [tex3]\frac{[Fg(r) - Fg(R)] \cdot R}{2}[/tex3]
Eg = [tex3]\frac{ ( \frac{GMm}{r^{2}}-\frac{GMm}{R^{2}} ) \cdot R }{2}[/tex3]
Eg = [tex3]\frac{ ( \frac{GMmR^{2} - GMmr^{2}}{R^{2} \cdot r^{2}} ) \cdot R }{2}[/tex3]
Eg = [tex3]\frac{ ( \frac{GMm(R^{2} -r^{2}) }{R^{2} \cdot r^{2}} ) \cdot R }{2}[/tex3]
Eg = [tex3]\frac{GMm(R^{2} - r^{2})}{2R \cdot r^{2}}[/tex3]

Bom depois daqui não consigo andar mais porque pensando no grafico da função Eg(r) [pois todos os outros valores são constantes G,M,m,R] é mais ou menos assim:

: Grafico Eg x r (Energia gravitacional x Suposto valor inicial de d); Grafico Egxr.png (3.13 KiB) Exibido 1867 vezes

ou seja: Eg(R) = 0 [ o que faz sentido], porém Eg(0) = [tex3]\infty[/tex3]

Mensagem não lidapor **aleixoreis** » 23 Nov 2015, 23:37 · Mensagem não lida por **aleixoreis** » 23 Nov 2015, 23:37

: GRAVID.png (4.98 KiB) Exibido 1856 vezes

A solução a seguir foi apresentada pelo professor HERBERT AQUINO:
A única força que age sobre o corpo $m$ é a força da gravidade e de acordo com o gráfico o trabalho realizado por esta força é igual à área do triângulo sombreado. É um trabalho negativo pois a força gravitacional (peso) tem sentido oposto ao deslocamento de $m$ , então: $T=-\frac{mgR}{2}$
Pelo teorema Trabalho-Energia Cinética: $T=\Delta E_c$ , fica:
$E_{cB}-E_{cA}=-\frac{mgR}{2}\rightarrow E_{cA}=E_{cB}+\frac{mgR}{2}$
$\frac{mv_A^2}{2}=\frac{mv_B^2}{2}+\frac{mgr}{2}\rightarrow v_A^2=v_B^2+gR$ ...I
Para que $m$ escape do campo gravitacional do planeta é necessário que a velocidade em $B$ seja igual à velocidade de escape quando o $m$ for lançado da superfície do planeta.
Se $V_e=\sqrt{2gR}\rightarrow v_B^2=V_e^2=2gR$ ...II
II em I: $v_A^2=2gR+gR\rightarrow v_A=\sqrt{3gR}$ ...III

Aqui termina a soluçao do prof Herbert.

Na superfície do planeta a força mútua de atração entre o planeta e $m$ corresponde ao peso de $m$ , então: $mg=\frac{GMm}{R^2}\rightarrow g=\frac{GM}{R^2}$ ...IV
Substituindo IV em III: $v_A=\sqrt{\frac{3GM}{R}}$
[ ]'s.

epharius · Mensagem não lida por **epharius** » 24 Nov 2015, 01:03

Muito obrigado, adorei a resolução. Objetiva e elegante.

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