Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **Gauss** » 17 Nov 2015, 19:37 · Mensagem não lida por **Gauss** » 17 Nov 2015, 19:37

Considere um triângulo retângulo com hipotenusa [tex3]A[/tex3] e catetos [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] . Sejam [tex3]V_A[/tex3] , [tex3]V_B[/tex3] , [tex3]V_C[/tex3] os volumes dos sólidos gerados pela rotação do triângulo em torno dos lados [tex3]A[/tex3] , [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] , respectivamente.

A) Calcule [tex3]V_A[/tex3] , [tex3]V_B[/tex3] , [tex3]V_C[/tex3] em função das medidas de [tex3]A[/tex3] , [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] .
B) Escreva a [tex3]V_A[/tex3] em função de [tex3]B[/tex3] , [tex3]C[/tex3] , [tex3]V_B[/tex3] e [tex3]V_C[/tex3] .

Consegui achar apenas [tex3]V_B[/tex3] e [tex3]V_C[/tex3] , se achar melhor, não é preciso postar as mesmas.

Resposta

[tex3]A)\ V_A=\frac{\pi B^2C^2}{3A},\ V_B=\frac{\pi C^2B}{3},\ V_C=\frac{\pi B^2C}{3}\\B)\ V_A=\frac{3V_B.V_C.\sqrt{B^2}+C^2}{\pi .B.C.(B^2+C^2)}[/tex3]

Mensagem não lidapor **Gauss** » 23 Nov 2015, 12:54 · Mensagem não lida por **Gauss** » 23 Nov 2015, 12:54

Mensagem não lidapor **undefinied3** » 23 Nov 2015, 15:54 · 23 Nov 2015, 15:54

Vou resolver apenas a letra b então.
Veja que já temos uma relação de $V_a$ em função de B e C, mas aparece no denominador um $3A$ que precisamos escrever em função de B, C, $V_B$ e $V_C$ . Do enunciado, temos que A, B e C são lados de um triângulo retângulo, mais especificamente, A é a hipotenusa e B e C são os catetos. Então, por pitágoras: $B^2+C^2=A^2 \rightarrow A=\sqrt{B^2+C^2}$
Trocando este valor na relação $V_A$ :
$V_A=\frac{\pi B^2C^2}{3A}=\frac{\pi B^2C^2}{3\sqrt{B^2+C^2}} . \frac{\sqrt{B^2+C^2}}{\sqrt{B^2+C^2}}=\frac{\pi B^2C^2\sqrt{B^2+C^2}}{3B^2+3C^2}$
Falta agora dar um jeito de fazer aparecer $V_A$ e $V_B$ . Para isso, vamos nos atentar ao seguinte:
$V_A=\frac{\pi B^2C^2\sqrt{B^2+C^2}}{3B^2+3C^2}=\frac{\pi B^2C^2}{3}.\frac{\sqrt{B^2+C^2}}{B^2+C^2}$
A primeira fração pode ser facilmente escrita em função dos outros volumes se fizermos algumas manipulações, inicialmente veja que:
$\frac{\pi B^2C^2}{3}=B.V_B$
$\frac{\pi B^2C^2}{3}=C.V_C$
$\frac{\pi^2 B^4C^4}{9}=B.V_B.C.V_C \rightarrow \frac{\pi B^2C^2}{3}=\frac{3BC.V_BV_C}{\pi B^2C^2}=\frac{3V_BV_C}{\pi BC}$
Substituindo em $V_A$ :
$V_A=\frac{\pi B^2C^2}{3}.\frac{\sqrt{B^2+C^2}}{B^2+C^2}=\frac{3V_BV_C}{\pi BC}.\frac{\sqrt{B^2+C^2}}{B^2+C^2}$

Mensagem não lidapor **Gauss** » 23 Nov 2015, 21:49 · Mensagem não lida por **Gauss** » 23 Nov 2015, 21:49

Muito obrigado, undefinied3!

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