A região [tex3]R[/tex3] , limitada pelas curvas y=x e y=[tex3]x^2[/tex3] , é girada ao redor da reta [tex3]y=2[/tex3] . Obtenha o volume do sólido resultante.
Resposta
R.:[tex3]\frac{8\pi}{15}u^3[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Aplicações do Cálculo integral: Volume de Sólidos por Cortes Tópico resolvido
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iceman
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Nov 2015
11
15:46
Aplicações do Cálculo integral: Volume de Sólidos por Cortes
Alguém poderia me ajudar nessa questão ?
A região [tex3]R[/tex3] , limitada pelas curvas y=x e y=[tex3]x^2[/tex3] , é girada ao redor da reta [tex3]y=2[/tex3] . Obtenha o volume do sólido resultante.
R.:[tex3]\frac{8\pi}{15}u^3[/tex3]
A região [tex3]R[/tex3] , limitada pelas curvas y=x e y=[tex3]x^2[/tex3] , é girada ao redor da reta [tex3]y=2[/tex3] . Obtenha o volume do sólido resultante.
R.:[tex3]\frac{8\pi}{15}u^3[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 30 Jan 2018, 18:23, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
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Cardoso1979
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Jan 2018
30
13:24
Re: Aplicações do Cálculo integral: Volume de Sólidos por Cortes
Observe:
Ao efetuarmos os "cortes"( fatiamento, conhecido também como método das cascas cilíndricas ), chegaremos ao seguinte resultado: A(y) = 2π( raio )( altura )= 2π.( y - 2 ).( y - [tex3]\sqrt{y}[/tex3] ), então , [tex3]\Delta v [/tex3] ~2π( y - 2 ).( y - [tex3]\sqrt{y}[/tex3] ).[tex3]\Delta y[/tex3]
( largura x altura x espessura ), basta então aplicar o limite para [tex3]\Delta y [/tex3] tendendo a zero e obtemos a integral:
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( y - 2 ).( y - \sqrt{y}) dy[/tex3]
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( y² - y \sqrt{y}
- 2y + 2\sqrt{y} ) dy [/tex3]
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( y² - y^{\frac{3}{2}}- 2y + 2.y^{\frac{1}{2}}) dy [/tex3]
Calculando a integral, resulta em;
V = [tex3]2π[/tex3] .( [tex3]\frac{1³}{3} - \frac{2}{5}.\sqrt{1^{5}} - 1² + 2.\frac{2}{3}.\sqrt{1^{3}}[/tex3] )
V = [tex3]2π[/tex3] .( [tex3]\frac{1}{3} - \frac{2}{5} - 1 + \frac{4}{3} [/tex3] )
V = [tex3]2π[/tex3] .( [tex3]\frac{5}{3} - \frac{2}{5} - 1[/tex3] )
V = [tex3]2π[/tex3] .( [tex3]\frac{25 - 6 - 15}{15}
[/tex3] )
V = [tex3]\frac{8π}{15}[/tex3]
Portanto, o volume vale [tex3]\frac{8π}{15}u³[/tex3]
Nota 1:
y = x [tex3]\rightarrow [/tex3] x = y
e
y = x² [tex3]\rightarrow [/tex3] x = [tex3]\sqrt{y}[/tex3]
Então;
[tex3]\sqrt{y}[/tex3] = y [tex3]\rightarrow [/tex3]
y² - y = 0 , raízes y = 0 ou y = 1( são os limites de integração c = 0 e d = 1 )
Graficamente
Nota 2:
Uma outra maneira seria usando o método dos discos, basta usar a seguinte fórmula:
V = [tex3]π\int\limits_{a}^{b}[ ( f_{1}(x) - k )^2 - ( f_{2}(x) - k )^2 ]dx[/tex3]
Onde a = 0 e b = 1( intersecção das retas y = x e y = x² ) , [tex3]f_{1}(x) = x²[/tex3] , [tex3]f_{2}(x) = x[/tex3] e k = 2.
Logo;
V = [tex3]π\int\limits_{0}^{1}[ ( x² - 2 )^2 - ( x - 2 )^2 ]dx[/tex3]
Efetuando os cálculos acima , resulta em ;
V = [tex3]\frac{8π}{15}u³[/tex3]
Bons estudos para quem for pesquisar esta solução!
Ao efetuarmos os "cortes"( fatiamento, conhecido também como método das cascas cilíndricas ), chegaremos ao seguinte resultado: A(y) = 2π( raio )( altura )= 2π.( y - 2 ).( y - [tex3]\sqrt{y}[/tex3] ), então , [tex3]\Delta v [/tex3] ~2π( y - 2 ).( y - [tex3]\sqrt{y}[/tex3] ).[tex3]\Delta y[/tex3]
( largura x altura x espessura ), basta então aplicar o limite para [tex3]\Delta y [/tex3] tendendo a zero e obtemos a integral:
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( y - 2 ).( y - \sqrt{y}) dy[/tex3]
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( y² - y \sqrt{y}
- 2y + 2\sqrt{y} ) dy [/tex3]
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( y² - y^{\frac{3}{2}}- 2y + 2.y^{\frac{1}{2}}) dy [/tex3]
Calculando a integral, resulta em;
V = [tex3]2π[/tex3] .( [tex3]\frac{1³}{3} - \frac{2}{5}.\sqrt{1^{5}} - 1² + 2.\frac{2}{3}.\sqrt{1^{3}}[/tex3] )
V = [tex3]2π[/tex3] .( [tex3]\frac{1}{3} - \frac{2}{5} - 1 + \frac{4}{3} [/tex3] )
V = [tex3]2π[/tex3] .( [tex3]\frac{5}{3} - \frac{2}{5} - 1[/tex3] )
V = [tex3]2π[/tex3] .( [tex3]\frac{25 - 6 - 15}{15}
[/tex3] )
V = [tex3]\frac{8π}{15}[/tex3]
Portanto, o volume vale [tex3]\frac{8π}{15}u³[/tex3]
Nota 1:
y = x [tex3]\rightarrow [/tex3] x = y
e
y = x² [tex3]\rightarrow [/tex3] x = [tex3]\sqrt{y}[/tex3]
Então;
[tex3]\sqrt{y}[/tex3] = y [tex3]\rightarrow [/tex3]
y² - y = 0 , raízes y = 0 ou y = 1( são os limites de integração c = 0 e d = 1 )
Graficamente
- 15173247797181176215926.jpg (36.46 KiB) Exibido 974 vezes
Nota 2:
Uma outra maneira seria usando o método dos discos, basta usar a seguinte fórmula:
V = [tex3]π\int\limits_{a}^{b}[ ( f_{1}(x) - k )^2 - ( f_{2}(x) - k )^2 ]dx[/tex3]
Onde a = 0 e b = 1( intersecção das retas y = x e y = x² ) , [tex3]f_{1}(x) = x²[/tex3] , [tex3]f_{2}(x) = x[/tex3] e k = 2.
Logo;
V = [tex3]π\int\limits_{0}^{1}[ ( x² - 2 )^2 - ( x - 2 )^2 ]dx[/tex3]
Efetuando os cálculos acima , resulta em ;
V = [tex3]\frac{8π}{15}u³[/tex3]
Bons estudos para quem for pesquisar esta solução!
Editado pela última vez por Cardoso1979 em 30 Jan 2018, 14:08, em um total de 1 vez.
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