Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica (Elipse) Tópico resolvido

[monihood]

Determine as coordenadas dos focos da elipse [tex3]4x^{2} + 16y^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x^{2} + 16y^{2}[/tex3]

- 8x + 64y + 4 = 0


F(1-2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

, -2) F'(1+2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

, -2)

[Cardoso1979]

Observe:

Solução

4x² - 8x + 16y² + 64y + 4 = 0

Completando quadrado em relação a variável x e em relação a variável y, temos;

4x² - 8x + 4 + 16y² + 64y + 64 = - 4 + 4 + 64

4.( x² - 2x + 1 ) + 16.( y² + 4y + 4 ) = 64

4.( x - 1 )^2 + 16.( y + 2 )^2 = 64

[tex3]\frac{(x-1)^{2}}{16} + \frac{(y+2)^{2}
}{4}= 1[/tex3]

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[tex3]\frac{(x-1)^{2}}{16} + \frac{(y+2)^{2}
}{4}= 1[/tex3]

Trata-se de uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo das abscissas, comparando com a forma dela abaixo, temos:

[tex3]\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}= 1[/tex3]

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[tex3]\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}= 1[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
a^{2} = 16\\
b^{2}=4 \\
x_{0}= 1\\
y_{0}= - 2
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a^{2} = 16\\
b^{2}=4 \\
x_{0}= 1\\
y_{0}= - 2
\end{cases}[/tex3]

Por outro lado;

a² = b² + c² [tex3]\rightarrow [/tex3]

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[tex3]\rightarrow [/tex3]

16 = 4 + c² [tex3]\rightarrow [/tex3]

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[tex3]\rightarrow [/tex3]

c = [tex3]\sqrt{4.3}\rightarrow [/tex3]

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[tex3]\sqrt{4.3}\rightarrow [/tex3]

c = [tex3]2.\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]2.\sqrt{3}[/tex3]

Logo, os focos são dado por:

[tex3]F( x_{0} \pm c, y_{0} )[/tex3]

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[tex3]F( x_{0} \pm c, y_{0} )[/tex3]

Então;

[tex3]F_{1}( 1 - 2\sqrt{3} , - 2) \ e \ F_{2}( 1 + 2\sqrt{3} , - 2) [/tex3]

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[tex3]F_{1}( 1 - 2\sqrt{3} , - 2) \ e \ F_{2}( 1 + 2\sqrt{3} , - 2) [/tex3]

Bons estudos para quem estiver estudando este assunto!!