Ensino Superior

Mensagem não lidapor **ilprofeta** » 22 Jul 2014, 16:30 · Mensagem não lida por **ilprofeta** » 22 Jul 2014, 16:30

A medida em radianos do ângulo entre $\vec{u}$ e $\vec{v}$ é $\pi/4$ . Sabendo que $||\vec{u}|| = \sqrt{5}$ e $||\vec{v}|| = 1$ , encontre a medida em radianos do ângulo entre $\vec{u} + \vec{v}$ e $\vec{u} - \vec{v}$ .

Mensagem não lidapor **caju** » 31 Jul 2014, 15:12 · Mensagem não lida por **caju** » 31 Jul 2014, 15:12

Olá ilprofeta,

Para descobrir o ângulo $\alpha$ pedido, vamos fazer o produto escalar entre os vetores solicitados:

$(\vec{u} + \vec{v})\odot(\vec{u} - \vec{v})=|\vec{u} + \vec{v}|\cdot|\vec{u} - \vec{v}|\cdot\cos(\alpha)$

$\vec{u}\odot \vec{u}-\cancel{\vec{u}\odot \vec{v}}+\cancel{\vec{v}\odot \vec{u}}-\vec{v}\odot \vec{v}=|\vec{u} + \vec{v}|\cdot|\vec{u} - \vec{v}|\cdot\cos(\alpha)$

$|\vec{u}|^2-|\vec{v}|^2=|\vec{u} + \vec{v}|\cdot|\vec{u} - \vec{v}|\cdot\cos(\alpha)$

$\cos(\alpha)=\frac{4}{|\vec{u} + \vec{v}|\cdot|\vec{u} - \vec{v}|}$

Guardamos esta equação e vamos encontrar os módulos necessários para computá-la.

Pela regra do paralelogramo, mostrada abaixo, podemos aplicar a lei dos cosenos e encontrar os módulos pedidos:

: veotres.png (3.32 KiB) Exibido 527 vezes

Vetor vermelho
$|\vec{u} + \vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2\cdot|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos(135^\circ)\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{|\vec{u} + \vec{v}|=\sqrt{6+\sqrt{10}}}$

Vetor verde
$|\vec{u} - \vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2\cdot|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos(45^\circ)\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{|\vec{u} - \vec{v}|=\sqrt{6-\sqrt{10}}}$

Agora voltamos à equação que guardamos:

$\cos(\alpha)=\frac{4}{|\vec{u} + \vec{v}|\cdot|\vec{u} - \vec{v}|}$

$\cos(\alpha)=\frac{4}{\left(\sqrt{6+\sqrt{10}}\right)\cdot\left(\sqrt{6-\sqrt{10}}\right)}$

$\cos(\alpha)=\frac{4}{\sqrt{26}}$

$\boxed{\boxed{\alpha=\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{26}}\right)}}$

Grande abraço,
Prof. Caju

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