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Mensagem não lidapor **PréIteano** » 03 Jul 2014, 16:59 · Mensagem não lida por **PréIteano** » 03 Jul 2014, 16:59

Considere o número complexo z = [tex3]\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}[/tex3] e calcule [tex3]z^{n}[/tex3] . No conjunto formado pelos quatro menores valores naturais de n para os quais [tex3]z^{n}[/tex3] é um número real,

a) existem números que estão em progressão aritmética de razão igual a 4
b) há elementos cuja soma é igual a 30
c) existem um único número ímpar
d) existe apenas um elemento que é número primo

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 03 Jul 2014, 17:17 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 03 Jul 2014, 17:17

Na forma trigonométrica,

$z=\cos\frac{\pi}{3}-i\cdot\sin\frac{\pi}{3}$

Logo,

$z^n=\cos\frac{n\pi}{3}-i\cdot\sin\frac{n\pi}{3}$

Assim,

$z^n$ será um número real quando $\sin\frac{n\pi}{3}=0$ .

$\sin\frac{n\pi}{3}=0\rightarrow \frac{n\pi}{3}=k\pi,k\in\mathbb{N}\rightarrow n=3k$

Logo, os 4 menores números naturais de $n$ para os quais $z^n$ é um número real são: 0, 3, 6 e 9.

Resposta: d) existe apenas um elemento que é número primo.

Penso que seja isso.

Mensagem não lidapor **brunoafa** » 28 Mai 2016, 16:00 · Mensagem não lida por **brunoafa** » 28 Mai 2016, 16:00

Você preferiu usar $\frac{\pi}{3}$ mas poderia ter usado $\frac{7}{4}\pi$ , não? E ai os valores seriam outros.

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 28 Mai 2016, 22:38 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 28 Mai 2016, 22:38

Bruno,

Porque $\frac{7\pi}{4}$ ?

Mensagem não lidapor **brunoafa** » 28 Mai 2016, 23:27 · Mensagem não lida por **brunoafa** » 28 Mai 2016, 23:27

csmarcelo escreveu:Bruno,

Porque $\frac{7\pi}{4}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\frac{7\pi}{4}[/tex3]
?

Perdão, foi um erro de sinal no seno. Achei que o arco teria que ser do quarto quadrante.

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