Ensino Médio

Mensagem não lidapor **AnaBela** » 20 Mai 2014, 23:00 · Mensagem não lida por **AnaBela** » 20 Mai 2014, 23:00

AB e CD são dois diâmetros perpendiculares de uma circunferência de raio R. O arco de centro A e raio AC intercepta o diâmetro AB em E. Calcule a área da superfície compreendida entre os arcos CBD e CED.
Gabarito: Área pedida = [tex3]R^{2}[/tex3]

Bom dia, AnaBela, por acaso a resposta não seria $\frac{R^2}{2}$ .
Grato

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 21 Mai 2014, 09:33 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 21 Mai 2014, 09:33

Valde,

O gabarito está correto.

: Sem título.png (23 KiB) Exibido 397 vezes

Área da superfície compreendida entre os arcos CBD e CED = metade da área da circunferência de centro O menos área do segmento circular da circunferência de centro A definido pelo arco CD.

metade da área da circunferência de centro O = $\frac{\pi R^2}{2}$

área do segmento circular da circunferência de centro A definido pelo arco CD = $\frac{R'^2}{2}(\theta-\sin\theta)$

Repare AC é a hipotenusa do triângulo retângulo AOC, de catetos com medida igual a R e, portanto, $AC = R' = R\sqrt{2}$ .

Além disso, $\theta$ é um ângulo inscrito na circunferência de centro O, cuja medida do arco correspondente é igual à metade do comprimento da circunferência, logo $\theta=90^\circ$ .

Assim,

área do segmento circular da circunferência de centro A definido pelo arco CD = $\frac{(R\sqrt{2})^2}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=\frac{\pi R^2-2R^2}{2}$

Logo,

Área da superfície compreendida entre os arcos CBD e CED = $\frac{\pi R^2}{2}-\frac{\pi R^2-2R^2}{2}=R^2$

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