Num quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]
tem-se: [tex3]AB=42,[/tex3]
[tex3]BC=48,[/tex3]
[tex3]CD=64,[/tex3]
[tex3]DA=49[/tex3]
e [tex3]P[/tex3]
é o ponto de interseção entre as diagonais [tex3]AC[/tex3]
e [tex3]BD.[/tex3]
Qual a razão entre os segmentos [tex3]PA[/tex3]
e [tex3]PC,[/tex3]
sabendo-se que a diagonal [tex3]BD[/tex3]
é igual a [tex3]56?[/tex3]
a) [tex3]7/8[/tex3]
b) [tex3]8/7[/tex3]
c) [tex3]7/6[/tex3]
d) [tex3]6/7[/tex3]
e) [tex3]49/64[/tex3]
IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2003) Geometria Plana: Quadriláteros Tópico resolvido
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paulo testoni
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Jan 2007
13
01:09
(Colégio Naval - 2003) Geometria Plana: Quadriláteros
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Razão: tex --> tex3
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Paulo Testoni
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caju
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Fev 2007
08
16:29
Re: (Colégio Naval - 2003) Geometria Plana: Quadriláteros
Olá Paulo,
O desenho, nas proporções corretas (fiz num software geométrico), fica:
Note que o triângulo [tex3]ABD[/tex3]
é o triângulo de lados [tex3]6, 7[/tex3]
e [tex3]8[/tex3]
multiplicado por [tex3]7[/tex3]
e o triângulo [tex3]BCD[/tex3]
é o triângulo [tex3]6, 7, 8[/tex3]
multiplicado por [tex3]8.[/tex3]
Ou seja, o triângulo [tex3]ABD[/tex3] é semelhante ao triângulo [tex3]BCD.[/tex3]
Com isso, podemos concluir que os ângulos internos dos triângulos são iguais. Particularmente, temos que os ângulos [tex3]B\hat{D}C[/tex3] e [tex3]A\hat{D}B[/tex3] são iguais, chamaremos [tex3]B\hat{D}C=A\hat{D}B =\alpha[/tex3]
Para facilitar, chamaremos também [tex3]A\hat{P}D=B\hat{P}C=\beta[/tex3] e consequentemente [tex3]A\hat{P}B=C\hat{P}D=180^{\circ}-\beta[/tex3]
Utilizando [tex3]w[/tex3] e [tex3]x[/tex3] para simbolizar [tex3]AP[/tex3] e [tex3]PC[/tex3] (como indicado na figura) respectivamente, podemos aplicar a lei dos senos no triângulo [tex3]BDC[/tex3]
[tex3]\frac{x}{\sen\alpha}=\frac{64}{\sen(180^{\circ}-\beta)}[/tex3]
Sabemos que [tex3]\sen(180^{\circ}-\beta)=\sen\beta[/tex3] , portanto, podemos rescrever:
(1) [tex3]\frac{x}{\sen\alpha}=\frac{64}{\sen\beta}[/tex3]
E aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]APD,[/tex3] temos:
(2) [tex3]\frac{49}{\sen\beta}=\frac{w}{\sen\alpha}[/tex3]
Multiplicando as equaçõs (1) e (2), temos:
[tex3]\frac{49x}{\sen\alpha\cdot\sen\beta}=\frac{64w}{\sen\beta\cdot\sen\alpha}[/tex3]
[tex3]49x=64w[/tex3]
[tex3]\frac{49}{64}=\frac{w}{x}[/tex3]
O desenho, nas proporções corretas (fiz num software geométrico), fica:
- Quadrilátero.png (12.72 KiB) Exibido 2506 vezes
Ou seja, o triângulo [tex3]ABD[/tex3] é semelhante ao triângulo [tex3]BCD.[/tex3]
Com isso, podemos concluir que os ângulos internos dos triângulos são iguais. Particularmente, temos que os ângulos [tex3]B\hat{D}C[/tex3] e [tex3]A\hat{D}B[/tex3] são iguais, chamaremos [tex3]B\hat{D}C=A\hat{D}B =\alpha[/tex3]
Para facilitar, chamaremos também [tex3]A\hat{P}D=B\hat{P}C=\beta[/tex3] e consequentemente [tex3]A\hat{P}B=C\hat{P}D=180^{\circ}-\beta[/tex3]
Utilizando [tex3]w[/tex3] e [tex3]x[/tex3] para simbolizar [tex3]AP[/tex3] e [tex3]PC[/tex3] (como indicado na figura) respectivamente, podemos aplicar a lei dos senos no triângulo [tex3]BDC[/tex3]
[tex3]\frac{x}{\sen\alpha}=\frac{64}{\sen(180^{\circ}-\beta)}[/tex3]
Sabemos que [tex3]\sen(180^{\circ}-\beta)=\sen\beta[/tex3] , portanto, podemos rescrever:
(1) [tex3]\frac{x}{\sen\alpha}=\frac{64}{\sen\beta}[/tex3]
E aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]APD,[/tex3] temos:
(2) [tex3]\frac{49}{\sen\beta}=\frac{w}{\sen\alpha}[/tex3]
Multiplicando as equaçõs (1) e (2), temos:
[tex3]\frac{49x}{\sen\alpha\cdot\sen\beta}=\frac{64w}{\sen\beta\cdot\sen\alpha}[/tex3]
[tex3]49x=64w[/tex3]
[tex3]\frac{49}{64}=\frac{w}{x}[/tex3]
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Thales Gheós
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09
11:21
Re: (Colégio Naval - 2003) Geometria Plana: Quadriláteros
Prof. Caju: você me deu um nó na cabeça quando escreveu:Note que o triângulo [tex3]ABD[/tex3] é o triângulo de lados [tex3]6, 7[/tex3] e [tex3]8[/tex3] multiplicado por [tex3]7[/tex3] e o triângulo [tex3]BCD[/tex3] é o triângulo [tex3]6, 7, 8[/tex3] multiplicado por [tex3]8.[/tex3]
Ou seja, o triângulo [tex3]ABD[/tex3] é semelhante ao triângulo [tex3]BCD[/tex3].
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Fev 2007
09
20:36
Re: (Colégio Naval - 2003) Geometria Plana: Quadriláteros
Olá Thales,
Existem duas situações onde dois triângulos são considerados semelhantes
1) Quando todos os ângulos são iguais;
2) Quando os lados são proporcionais.
E uma coisa legal é que, quando satisfizer a primeira condição, a segunda é satisfeita automaticamente, e vice-versa.
Na situação deste problema, temos dois triângulos que derivaram de um mesmo triângulo, o triângulo de lados 6, 7 e 8.
Veja a figura abaixo:
Note que os três triângulos da figura são semelhantes, pois apenas multiplicamos os lados por uma constante em cada situação.
Note também que os triângulos da direita são exatamente os triângulos que aparecem no problema.
Se são semelhantes pela regra 2, então a regra 1 também é satisfeita: Os dois triângulos possuem os ângulos internos iguais.
Existem duas situações onde dois triângulos são considerados semelhantes
1) Quando todos os ângulos são iguais;
2) Quando os lados são proporcionais.
E uma coisa legal é que, quando satisfizer a primeira condição, a segunda é satisfeita automaticamente, e vice-versa.
Na situação deste problema, temos dois triângulos que derivaram de um mesmo triângulo, o triângulo de lados 6, 7 e 8.
Veja a figura abaixo:
Note que os três triângulos da figura são semelhantes, pois apenas multiplicamos os lados por uma constante em cada situação.
Note também que os triângulos da direita são exatamente os triângulos que aparecem no problema.
Se são semelhantes pela regra 2, então a regra 1 também é satisfeita: Os dois triângulos possuem os ângulos internos iguais.
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Fev 2007
10
18:16
Re: (Colégio Naval - 2003) Geometria Plana: Quadriláteros
Valeu, Mestre! agora entendi.
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