Olimpíadas ⇒ medianas Tópico resolvido
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rean
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13
22:17
medianas
Mostre que as medianas de um triângulo se intersecta em um ponto mesmo ponto chamado baricentro do triângulo.
No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean
Rean
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petras
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Fev 2022
16
16:57
Re: medianas
Seja o triângulo ABC, tracemos as medianas BMb e CMc,
que se cortam em G, conforme figura.
tracemos a semi-reta AG que encontra BC e Ma.
De fato, seja E em AG, tal que GE = AG e tracemos BE e CE.
No ∆ ABE, GMc || BE, pois G e Mc são pontos médios dos lados AE
e AB, respectivamente (base média).
De modo análogo, GMb || CE no ∆ ACE.
Portanto, BECG é um paralelogramo (Definição) e suas diagonais BC e GE
se encontram em seus pontos médios.
Logo,
1) Ma é o ponto médio de BC e AMa é a terceira mediana.
2) AG = GE = 2 · GMa ou AG = GE =
2/3· AMa
De modo similar, sBG = 2 · GMb e CG = 2 · GMc
(Solução: site uff)
que se cortam em G, conforme figura.
tracemos a semi-reta AG que encontra BC e Ma.
De fato, seja E em AG, tal que GE = AG e tracemos BE e CE.
No ∆ ABE, GMc || BE, pois G e Mc são pontos médios dos lados AE
e AB, respectivamente (base média).
De modo análogo, GMb || CE no ∆ ACE.
Portanto, BECG é um paralelogramo (Definição) e suas diagonais BC e GE
se encontram em seus pontos médios.
Logo,
1) Ma é o ponto médio de BC e AMa é a terceira mediana.
2) AG = GE = 2 · GMa ou AG = GE =
2/3· AMa
De modo similar, sBG = 2 · GMb e CG = 2 · GMc
(Solução: site uff)
- Anexos
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- fig2.jpg (6.48 KiB) Exibido 903 vezes
Editado pela última vez por petras em 16 Fev 2022, 18:43, em um total de 1 vez.
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FelipeMartin
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Fev 2022
16
18:33
Re: medianas
Outra solução: O ponto [tex3]G = \frac{A+B+C}3[/tex3]
se encontra sobre as medianas [tex3]X = A + (\frac{B+C}2-A)t[/tex3]
, [tex3]X = B + (\frac{A+C}2-B)t[/tex3]
para [tex3]t \in [0,1][/tex3]
, [tex3]t = \frac23[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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FelipeMartin
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Fev 2022
17
10:30
Re: medianas
Outra solução: sejam [tex3]M_a,M_b[/tex3]
e [tex3]M_c[/tex3]
os pontos médios dos lados [tex3]BC,AC[/tex3]
e [tex3]AB[/tex3]
, [tex3]\frac{M_aC}{M_aB} \cdot \frac{M_cB}{M_cA} \cdot \frac{M_bA}{M_bC} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 [/tex3]
, logo, conhecendo-se o teorema de Ceva (https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Ceva), segue que as medianas são concorrentes.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 17 Fev 2022, 10:44, em um total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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