julgue o item subsequente.
(1) Considere-se que um iceberg, em geral, tenha [tex3]10\%[/tex3]
do seu volume total visível, enquanto os demais [tex3]90\%[/tex3]
do volume fiquem submersos. Considere-se, ainda, que [tex3]1/7[/tex3]
da altura desse iceberg fique na parte visível e os demais [tex3]6/7[/tex3]
fiquem na parte submersa. Além disso, suponha-se que o iceberg possa ser modelado pela junção de um tronco de cone circular reto que fique submerso e um cone circular reto que forme a parte visível. Nessa situação, para um iceberg com altura total de [tex3]14\ m[/tex3]
, raio da parte visível de [tex3]5\ m[/tex3]
e com a base maior do tronco de cone coincidindo com a base do cone, o raio menor do tronco de cone da parte submersa será igual a [tex3]\frac{5}{2} (\sqrt{3} + 1)\ m[/tex3]
.
Pré-Vestibular ⇒ (UnB - 2023) Geometria Espacial
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ALDRIN
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Mar 2024
06
13:00
(UnB - 2023) Geometria Espacial
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
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matbatrobin
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Jun 2024
07
20:39
Re: (UnB - 2023) Geometria Espacial
Como o volume da parte pequena [tex3]\pi r^2h[/tex3]
é [tex3]\frac{1}{9}[/tex3]
do volume da parte submersa [tex3]\pi R^2H,[/tex3]
e [tex3]h[/tex3]
é [tex3]\frac{1}{6}[/tex3]
de [tex3]H,[/tex3]
então temos que [tex3]R^2>r^2.[/tex3]
Para ver o porquê, imagine se o raio das duas parte fosse a mesma, então a razão das alturas seria a mesma razão dos volumes, pois seria só da diferença de altura que viria a diferença de volume. Como a razão das alturas é maior que a dos volumes, então o raio da parte submersa [tex3]R[/tex3]
é maior que da parte exposta [tex3]r,[/tex3]
para que a razão de volumes seja respeitada. Logo, o item é falso. Para mostrar explicitamente fazemos:
[tex3]\pi r^2 h=\frac{1}{9}\pi R^2 H=\frac{1}{9}\pi R^2 6h=\frac{2}{3}\pi R^2h\Longrightarrow r^2=\frac{2}{3}R^2[/tex3] ou [tex3]R^2=\frac{3}{2}r^2,[/tex3] o que já mostra que [tex3]R>r.[/tex3]
Por completude calcularei o [tex3]R[/tex3] em função de [tex3]r:[/tex3] [tex3]R=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}r=\frac{\sqrt{6}}{2}r\Longrightarrow R=\frac{5}{2}\sqrt{6}\neq \frac{5}{2}(\sqrt{3}+1).[/tex3]
[tex3]\pi r^2 h=\frac{1}{9}\pi R^2 H=\frac{1}{9}\pi R^2 6h=\frac{2}{3}\pi R^2h\Longrightarrow r^2=\frac{2}{3}R^2[/tex3] ou [tex3]R^2=\frac{3}{2}r^2,[/tex3] o que já mostra que [tex3]R>r.[/tex3]
Por completude calcularei o [tex3]R[/tex3] em função de [tex3]r:[/tex3] [tex3]R=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}r=\frac{\sqrt{6}}{2}r\Longrightarrow R=\frac{5}{2}\sqrt{6}\neq \frac{5}{2}(\sqrt{3}+1).[/tex3]
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