de 𝑥, é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 2
e) 2√2
Resposta
c
Concursos Públicos ⇒ (PETROBRAS/2018)-função seno e cosseno Tópico resolvido
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Pdalindão
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Nov 2023
25
21:01
(PETROBRAS/2018)-função seno e cosseno
(PETROBRAS/2018) O maior valor que a expressão 𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2√2𝑐𝑜𝑠𝑥 pode assumir, para valores reais
de 𝑥, é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 2
e) 2√2
c
de 𝑥, é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 2
e) 2√2
c
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emanuel9393
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Nov 2023
26
09:20
Re: (PETROBRAS/2018)-função seno e cosseno
Bom dia!
Vamos tentar escrever a função na forma [tex3]E = k\cos(a+x)[/tex3] com [tex3]k,a \in R[/tex3] . Desenvolvendo:
[tex3]E = k \cos(a+x) = k [\cos a \cos x - \sin a \sin x] = (k \cos a) \cos x + (-k \sin a) \sin x[/tex3]
Comparando essa última expressão com [tex3]E = \sin x + 2\sqrt 2 \cos x[/tex3] , temos que:
[tex3]k \cos a = 1 \Rightarrow k^2 \cos ^2 a = 1 \ \ \ (I)[/tex3]
[tex3](-k \sin a) = 2\sqrt 2 \Rightarrow k^2 \sin ^2 a= 8 \ \ \ (II)[/tex3]
Somando [tex3](I)[/tex3] com [tex3](II)[/tex3] :
[tex3]k^2 \cos ^2 a + k^2 \sin ^2 a = 1 + 8 \Rightarrow k^2 (\cos^2a + \sin^2a)=9[/tex3]
[tex3]k^2 \cdot 1 = 9 \Rightarrow k = \pm 3[/tex3]
Logo,
[tex3]E=\pm 3 \cos (a+x)[/tex3]
Como o maior valor que [tex3]\cos (a+x)[/tex3] pode assumir é [tex3]1[/tex3] . Temos que o maior valor que [tex3]E[/tex3] pode assumir é [tex3]3[/tex3] .
Bons estudos!
Vamos tentar escrever a função na forma [tex3]E = k\cos(a+x)[/tex3] com [tex3]k,a \in R[/tex3] . Desenvolvendo:
[tex3]E = k \cos(a+x) = k [\cos a \cos x - \sin a \sin x] = (k \cos a) \cos x + (-k \sin a) \sin x[/tex3]
Comparando essa última expressão com [tex3]E = \sin x + 2\sqrt 2 \cos x[/tex3] , temos que:
[tex3]k \cos a = 1 \Rightarrow k^2 \cos ^2 a = 1 \ \ \ (I)[/tex3]
[tex3](-k \sin a) = 2\sqrt 2 \Rightarrow k^2 \sin ^2 a= 8 \ \ \ (II)[/tex3]
Somando [tex3](I)[/tex3] com [tex3](II)[/tex3] :
[tex3]k^2 \cos ^2 a + k^2 \sin ^2 a = 1 + 8 \Rightarrow k^2 (\cos^2a + \sin^2a)=9[/tex3]
[tex3]k^2 \cdot 1 = 9 \Rightarrow k = \pm 3[/tex3]
Logo,
[tex3]E=\pm 3 \cos (a+x)[/tex3]
Como o maior valor que [tex3]\cos (a+x)[/tex3] pode assumir é [tex3]1[/tex3] . Temos que o maior valor que [tex3]E[/tex3] pode assumir é [tex3]3[/tex3] .
Bons estudos!
As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...
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petras
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Nov 2023
26
09:44
Re: (PETROBRAS/2018)-função seno e cosseno
Pdalindão,
[tex3]\mathsf{sen(a+b) =sena.cosb+senb.cosa\\
Seja: cos \alpha = \frac{1}3 \implies sen\alpha = \sqrt{(1-(\frac{1}{3})^2} = \frac{2\sqrt2}{3} \\
\\ \therefore sen(\alpha+x) = sen\alpha cosx+senxcos\alpha =\frac{2\sqrt2}{3}cosx+senx.\frac{1}{3} \\
E = senx+2\sqrt2cosx=3(\frac{1}{3}senx+\frac{2\sqrt2}{3}cosx) = 3sen(\alpha+x)\\
E_{(máx)} \implies sen(\alpha+x) = 1 \therefore 3,1
= \boxed{3}\\
}[/tex3]
[tex3]\mathsf{sen(a+b) =sena.cosb+senb.cosa\\
Seja: cos \alpha = \frac{1}3 \implies sen\alpha = \sqrt{(1-(\frac{1}{3})^2} = \frac{2\sqrt2}{3} \\
\\ \therefore sen(\alpha+x) = sen\alpha cosx+senxcos\alpha =\frac{2\sqrt2}{3}cosx+senx.\frac{1}{3} \\
E = senx+2\sqrt2cosx=3(\frac{1}{3}senx+\frac{2\sqrt2}{3}cosx) = 3sen(\alpha+x)\\
E_{(máx)} \implies sen(\alpha+x) = 1 \therefore 3,1
= \boxed{3}\\
}[/tex3]
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Pdalindão
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Nov 2023
26
11:07
Re: (PETROBRAS/2018)-função seno e cosseno
De onde veio a informação que o cosseno de [tex3]\alpha [/tex3]
é 1/3, no início?
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Pdalindão
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Nov 2023
26
11:10
Re: (PETROBRAS/2018)-função seno e cosseno
Ainda assim eu entendi a ideia. Mas porque eu não posso simplesmente substituir o seno e cosseno por 1 (que é o valor máximo), como eu fiz na maioria dos exercícios?emanuel9393 escreveu: ↑26 Nov 2023, 09:20 Bom dia!
Vamos tentar escrever a função na forma [tex3]E = k\cos(a+x)[/tex3] com [tex3]k,a \in R[/tex3] . Desenvolvendo:
[tex3]E = k \cos(a+x) = k [\cos a \cos x - \sin a \sin x] = (k \cos a) \cos x + (-k \sin a) \sin x[/tex3]
Comparando essa última expressão com [tex3]E = \sin x + 2\sqrt 2 \cos x[/tex3] , temos que:
[tex3]k \cos a = 1 \Rightarrow k^2 \cos ^2 a = 1 \ \ \ (I)[/tex3]
[tex3](-k \sin a) = 2\sqrt 2 \Rightarrow k^2 \sin ^2 a= 8 \ \ \ (II)[/tex3]
Somando [tex3](I)[/tex3] com [tex3](II)[/tex3] :
[tex3]k^2 \cos ^2 a + k^2 \sin ^2 a = 1 + 8 \Rightarrow k^2 (\cos^2a + \sin^2a)=9[/tex3]
[tex3]k^2 \cdot 1 = 9 \Rightarrow k = \pm 3[/tex3]
Logo,
[tex3]E=\pm 3 \cos (a+x)[/tex3]
Como o maior valor que [tex3]\cos (a+x)[/tex3] pode assumir é [tex3]1[/tex3] . Temos que o maior valor que [tex3]E[/tex3] pode assumir é [tex3]3[/tex3] .
Bons estudos!
Aqui não seria o contrário?
[tex3]k \cos a =2\sqrt 2 [/tex3]
[tex3](-k \sin a) =1[/tex3]
Acredito que a resposta final não mudaria, mas só pra eu ter certeza mesmo.
Editado pela última vez por Pdalindão em 26 Nov 2023, 11:22, em um total de 2 vezes.
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petras
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Nov 2023
26
13:46
Re: (PETROBRAS/2018)-função seno e cosseno
Pdalindão,
Não existe a afirmação no enunciado. Foi apenas um artifício para aparecer o [tex3]2\sqrt2[/tex3] junto ao cosseno para depois fazer a igualdade.
Veja que a ideia da resolução foi a mesma do colega que utilizou a soma dos cossenos de uma forma mais genérica.
Quando você substitui seno ou cosseno por 1 você está substituindo o Ângulo x por aquele que dá origem a sen x ou cos x igual a 1 mas como o ângulo é o mesmo não tem como vocÊ ter os dois valores iguais a 1.
Se sen x = 1 teremos x = [tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3] e consequentemente cos[tex3]\frac{\pi}{2}=0[/tex3] e seno assim a função não teria o valor máximo de 3.
Não existe a afirmação no enunciado. Foi apenas um artifício para aparecer o [tex3]2\sqrt2[/tex3] junto ao cosseno para depois fazer a igualdade.
Veja que a ideia da resolução foi a mesma do colega que utilizou a soma dos cossenos de uma forma mais genérica.
Quando você substitui seno ou cosseno por 1 você está substituindo o Ângulo x por aquele que dá origem a sen x ou cos x igual a 1 mas como o ângulo é o mesmo não tem como vocÊ ter os dois valores iguais a 1.
Se sen x = 1 teremos x = [tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3] e consequentemente cos[tex3]\frac{\pi}{2}=0[/tex3] e seno assim a função não teria o valor máximo de 3.
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Pdalindão
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Nov 2023
26
16:43
Re: (PETROBRAS/2018)-função seno e cosseno
Entendi. Muito obrigado!petras escreveu: ↑26 Nov 2023, 13:46 Pdalindão,
Não existe a afirmação no enunciado. Foi apenas um artifício para aparecer o [tex3]2\sqrt2[/tex3] junto ao cosseno para depois fazer a igualdade.
Veja que a ideia da resolução foi a mesma do colega que utilizou a soma dos cossenos de uma forma mais genérica.
Quando você substitui seno ou cosseno por 1 você está substituindo o Ângulo x por aquele que dá origem a sen x ou cos x igual a 1 mas como o ângulo é o mesmo não tem como vocÊ ter os dois valores iguais a 1.
Se sen x = 1 teremos x = [tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3] e consequentemente cos[tex3]\frac{\pi}{2}=0[/tex3] e seno assim a função não teria o valor máximo de 3.
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emanuel9393
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Nov 2023
27
14:34
Re: (PETROBRAS/2018)-função seno e cosseno
Outra forma de resolver:
É fácil perceber que se [tex3]x= 0[/tex3] , então [tex3]E= 2 \sqrt 2[/tex3] . Logo, estão descartadas de cara as alternativas A, B e D por conter valores menores. Já sabemos que a alternativa E tem um dos valores possíveis que a função E pode assumir como afirmado acima. O problema se resume, então, a saber se existe [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]E=3[/tex3] . Ora, fazendo [tex3]\sin x = k[/tex3] , temos:
[tex3]E=3 \Rightarrow 3 = k \mp 2\sqrt 2 (\sqrt{1-k^2})[/tex3]
[tex3]3-k = \mp 2\sqrt 2 (\sqrt{1-k^2}) [/tex3]
Elevando ao quadrado, temos a seguinte equação:
[tex3]9k^2-6k+1 =0 \Rightarrow k = 1/3[/tex3]
Ou seja, [tex3]x = \arcsin \(\frac{1}{3}\)[/tex3] .
Como existe [tex3]x[/tex3] , [tex3]3[/tex3] é um valor possível de [tex3]E[/tex3] . Gabarito: C.
É fácil perceber que se [tex3]x= 0[/tex3] , então [tex3]E= 2 \sqrt 2[/tex3] . Logo, estão descartadas de cara as alternativas A, B e D por conter valores menores. Já sabemos que a alternativa E tem um dos valores possíveis que a função E pode assumir como afirmado acima. O problema se resume, então, a saber se existe [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]E=3[/tex3] . Ora, fazendo [tex3]\sin x = k[/tex3] , temos:
[tex3]E=3 \Rightarrow 3 = k \mp 2\sqrt 2 (\sqrt{1-k^2})[/tex3]
[tex3]3-k = \mp 2\sqrt 2 (\sqrt{1-k^2}) [/tex3]
Elevando ao quadrado, temos a seguinte equação:
[tex3]9k^2-6k+1 =0 \Rightarrow k = 1/3[/tex3]
Ou seja, [tex3]x = \arcsin \(\frac{1}{3}\)[/tex3] .
Como existe [tex3]x[/tex3] , [tex3]3[/tex3] é um valor possível de [tex3]E[/tex3] . Gabarito: C.
Editado pela última vez por emanuel9393 em 27 Nov 2023, 14:35, em um total de 1 vez.
As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...
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