IME / ITA ⇒ (ITA-1952) Número complexo Tópico resolvido

[Jigsaw]

3.ª Parte

1 – Demonstrar que todo número complexo de módulo unitário pode ser escrito na forma

[tex3]\frac{a+i}{a-i}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+i}{a-i}[/tex3]

onde [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

é um número real.

2 – Calcular o [tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}[/tex3]

.

Resposta

---

S/ GAB

OBS = Também mantive os dois itens indicados na questão, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço.

[petras]

Jigsaw,

1)
[tex3]z = \frac{(a + i)}{(a - i)}\\

z = \frac{(a + i).(a + i)}{(a - i).(a + i)} \\

z = \frac{(a^2 + 2.a.i + i^2)}{(a^2 - i^2)}\\

z =\frac{ (a^2 - 1)}{(a^2 + 1)} + \frac{2.a.i}{(a^2 + 1)}\\

|z|^2 = \frac{(a^2 - 1)^2}{(a^2 + 1)^2} + \frac{(2.a)^2}{(a^2 + 1)^2}\\

|z|^2 = \frac{ (a^2 - 2.a^2 + 1 + 4.a^2)}{(a^2 + 1)^2}\\

|z|^2 = \frac{(a^2 + 2.a^2 + 1)}{(a^2 + 1)^2}\\

|z|^2 = \frac{(a^2 + 1)^2}{(a^2 + 1)^2} \implies |z|^2 = 1 \therefore \boxed{ |z| = 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z = \frac{(a + i)}{(a - i)}\\

z = \frac{(a + i).(a + i)}{(a - i).(a + i)} \\

z = \frac{(a^2 + 2.a.i + i^2)}{(a^2 - i^2)}\\

z =\frac{ (a^2 - 1)}{(a^2 + 1)} + \frac{2.a.i}{(a^2 + 1)}\\

|z|^2 = \frac{(a^2 - 1)^2}{(a^2 + 1)^2} + \frac{(2.a)^2}{(a^2 + 1)^2}\\

|z|^2 = \frac{ (a^2 - 2.a^2 + 1 + 4.a^2)}{(a^2 + 1)^2}\\

|z|^2 = \frac{(a^2 + 2.a^2 + 1)}{(a^2 + 1)^2}\\

|z|^2 = \frac{(a^2 + 1)^2}{(a^2 + 1)^2} \implies |z|^2 = 1 \therefore \boxed{ |z| = 1}[/tex3]

9Soluçõa:Elcioschin)