6 - Calcular a área do quadrado ABCD, se:
AM = a e DN = b e AM || DN
Resposta
B) ab (Resposta errada do livro: A) 2ab)
Cap. 21 - Áreas de Regiones Poligonales ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:06 Tópico resolvido
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petras
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Jan 2022
07
16:36
Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:06
Problema Proposto
6 - Calcular a área do quadrado ABCD, se:
AM = a e DN = b e AM || DN
B) ab (Resposta errada do livro: A) 2ab)
6 - Calcular a área do quadrado ABCD, se:
AM = a e DN = b e AM || DN
B) ab (Resposta errada do livro: A) 2ab)
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FelipeMartin
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Jan 2022
07
20:10
Re: Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:06
Já tem uma solução por reflexão aqui no fórum.
Aqui vai outra: Seja [tex3]H_a[/tex3] o pé da altura de [tex3]O[/tex3] em relação a [tex3]AM[/tex3] e seja [tex3]H_d[/tex3] o pé da altura de [tex3]O[/tex3] em [tex3]DN[/tex3] .
Então: [tex3]\triangle OAH_a \cong \triangle ODH_d[/tex3] , pois [tex3]OA = OD[/tex3] e os ângulos dos dois são iguais, pois [tex3]AM \parallel DN \implies \angle OAH_a = \angle ODH_d[/tex3] , logo, [tex3]OH_a = OH_d[/tex3] .
[tex3]\triangle OH_aM \cong \triangle OH_dN[/tex3] por terem mesma hipotenusa [tex3]OM=ON = R[/tex3] e mesmo cateto [tex3]OH_a= OH_d[/tex3] . Então [tex3]H_dN = H_aM[/tex3] , ou seja; se completarmos os círculos, as cordas [tex3]MA[/tex3] e [tex3]DN[/tex3] terão o mesmo comprimento (pois a altura do triângulo isósceles é também mediana).
Como [tex3]A[/tex3] e [tex3]D[/tex3] têm a mesma potência em relação ao círculo (por equidistarem de [tex3]O[/tex3] ), então na verdade o prolongamento da corda [tex3]AM[/tex3] mede ao todo [tex3]a+b[/tex3] . A potência de [tex3]A[/tex3] é então [tex3]a \cdot b = (AO \sqrt5)^2 - AO^2 = 4AO^2 = S[/tex3] . A área então é [tex3]ab[/tex3] mesmo.
(outra solução:viewtopic.php?f=4&t=74809& )
Aqui vai outra: Seja [tex3]H_a[/tex3] o pé da altura de [tex3]O[/tex3] em relação a [tex3]AM[/tex3] e seja [tex3]H_d[/tex3] o pé da altura de [tex3]O[/tex3] em [tex3]DN[/tex3] .
Então: [tex3]\triangle OAH_a \cong \triangle ODH_d[/tex3] , pois [tex3]OA = OD[/tex3] e os ângulos dos dois são iguais, pois [tex3]AM \parallel DN \implies \angle OAH_a = \angle ODH_d[/tex3] , logo, [tex3]OH_a = OH_d[/tex3] .
[tex3]\triangle OH_aM \cong \triangle OH_dN[/tex3] por terem mesma hipotenusa [tex3]OM=ON = R[/tex3] e mesmo cateto [tex3]OH_a= OH_d[/tex3] . Então [tex3]H_dN = H_aM[/tex3] , ou seja; se completarmos os círculos, as cordas [tex3]MA[/tex3] e [tex3]DN[/tex3] terão o mesmo comprimento (pois a altura do triângulo isósceles é também mediana).
Como [tex3]A[/tex3] e [tex3]D[/tex3] têm a mesma potência em relação ao círculo (por equidistarem de [tex3]O[/tex3] ), então na verdade o prolongamento da corda [tex3]AM[/tex3] mede ao todo [tex3]a+b[/tex3] . A potência de [tex3]A[/tex3] é então [tex3]a \cdot b = (AO \sqrt5)^2 - AO^2 = 4AO^2 = S[/tex3] . A área então é [tex3]ab[/tex3] mesmo.
(outra solução:viewtopic.php?f=4&t=74809& )
Editado pela última vez por FelipeMartin em 07 Jan 2022, 20:21, em um total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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