Concursos Públicos ⇒ 26 senos Tópico resolvido

[Analisesousp]

Suponha que um geólogo esteja mapeando uma área triangular de terreno para exploração. As distâncias entre três pontos de interesse são medidas exatamente como 5 km, 8 km e 12 km, formando um triângulo. O geólogo precisa determinar o ângulo mais agudo para avaliar a inclinação do terreno, que é crítica para o planejamento de exploração. O seno do ângulo obtido pelo geólogo está entre:

(A) 0,1 e 0,3
(B) 0,3 e 0,5
(C) 0,5 e 0,7
(D) 0,7 e 0,9
(E) 0,9 e 1,0

Resposta

---

Gabarito B

Adaptado de Coseac 2024

[petras]

Analisesousp,

[tex3]12^2 > 8^2+5^2 \therefore \triangle _{obtusângulo}\\
> ângulo(=obtuso)\implies oposto~maior ~lado =12 \\
> ângulo ~agudo \implies oposto~maior~lado = 8\\
\therefore 8^2 = 12^2+5^2 - 2.12.5.cos \implies \frac{105}{120} = cosÂ=\frac{21}{24}\\
sen^2Â+cos^2 = 1 \implies sen = \sqrt{1-(\frac{21}{24})^2}=\sqrt\frac{{135}} {576}=\frac{\sqrt{15}}{8} \approx \boxed{0,48} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12^2 > 8^2+5^2 \therefore \triangle _{obtusângulo}\\
> ângulo(=obtuso)\implies oposto~maior ~lado =12 \\
> ângulo ~agudo \implies oposto~maior~lado = 8\\
\therefore 8^2 = 12^2+5^2 - 2.12.5.cos \implies \frac{105}{120} = cosÂ=\frac{21}{24}\\
sen^2Â+cos^2 = 1 \implies sen = \sqrt{1-(\frac{21}{24})^2}=\sqrt\frac{{135}} {576}=\frac{\sqrt{15}}{8} \approx \boxed{0,48} [/tex3]

[Analisesousp]

@petras , o ângulo mais agudo não estaria oposto ao menor lado do triângulo? Assim, mudaria a lei dos cossenos. Ou eu entendi errado? Obrigada

[petras]

Analisesousp,

Eu tinha considerado ângulo mais agudo o maior ângulo agudo e realmente é o menor portanto:

[tex3]\therefore 5^2 = 12^2+8^2 - 2.12.8.cos \implies \frac{105}{120} = cosÂ=\frac{61}{64}\\
sen^2Â+cos^2 = 1 \implies sen = \sqrt{1-(\frac{61}{64})^2}=\sqrt\frac{{375}} {4096}=\frac{5\sqrt{15}}{64} \approx \boxed{0,3} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore 5^2 = 12^2+8^2 - 2.12.8.cos \implies \frac{105}{120} = cosÂ=\frac{61}{64}\\
sen^2Â+cos^2 = 1 \implies sen = \sqrt{1-(\frac{61}{64})^2}=\sqrt\frac{{375}} {4096}=\frac{5\sqrt{15}}{64} \approx \boxed{0,3} [/tex3]