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467
Ensino Superior ⇒ Teoria dos Números Tópico resolvido
Fev 2024
23
13:11
Teoria dos Números
Encontre os últimos três dígitos de [tex3]3^{2019}[/tex3]
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467
467
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Ittalo25
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Fev 2024
23
13:35
Re: Teoria dos Números
a ideia de achar os últimos algarismos é dividir o número por uma potência de 10
se quer o último algarismo divide por 10, se quer os 2 últimos divide por 100 e assim vai
No caso basta dividir [tex3]3^{2019}[/tex3] por 1000 para achar os 3 últimos dígitos
Saber a função de euler ajuda muito nesse caso porque:
[tex3]3^{\phi (1000)} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{400} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]
[tex3](3^{400})^5 \equiv 1^5 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{2000} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{2000}\cdot 3^{19} \equiv 3^{19} \mod(1000)[/tex3]
Então basta se preocupar com [tex3]3^{19}[/tex3]
[tex3]3^{19} \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{7} \cdot 3^7 \cdot 3^5 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]2187 \cdot 2187 \cdot 243 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]187 \cdot 187 \cdot 243 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{2019} \equiv \boxed{467} \mod(1000)[/tex3]
se quer o último algarismo divide por 10, se quer os 2 últimos divide por 100 e assim vai
No caso basta dividir [tex3]3^{2019}[/tex3] por 1000 para achar os 3 últimos dígitos
Saber a função de euler ajuda muito nesse caso porque:
[tex3]3^{\phi (1000)} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{400} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]
[tex3](3^{400})^5 \equiv 1^5 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{2000} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{2000}\cdot 3^{19} \equiv 3^{19} \mod(1000)[/tex3]
Então basta se preocupar com [tex3]3^{19}[/tex3]
[tex3]3^{19} \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{7} \cdot 3^7 \cdot 3^5 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]2187 \cdot 2187 \cdot 243 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]187 \cdot 187 \cdot 243 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{2019} \equiv \boxed{467} \mod(1000)[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Fev 2024
23
15:45
Re: Teoria dos Números
Entendi, muito obrigado.Ittalo25 escreveu: ↑23 Fev 2024, 13:35 a ideia de achar os últimos algarismos é dividir o número por uma potência de 10
se quer o último algarismo divide por 10, se quer os 2 últimos divide por 100 e assim vai
No caso basta dividir [tex3]3^{2019}[/tex3] por 1000 para achar os 3 últimos dígitos
Saber a função de euler ajuda muito nesse caso porque:
[tex3]3^{\phi (1000)} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{400} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]
[tex3](3^{400})^5 \equiv 1^5 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{2000} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{2000}\cdot 3^{19} \equiv 3^{19} \mod(1000)[/tex3]
Então basta se preocupar com [tex3]3^{19}[/tex3]
[tex3]3^{19} \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{7} \cdot 3^7 \cdot 3^5 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]2187 \cdot 2187 \cdot 243 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]187 \cdot 187 \cdot 243 \mod(1000)[/tex3]
[tex3]3^{2019} \equiv \boxed{467} \mod(1000)[/tex3]
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