IME / ITA ⇒ (ITA-1961) Determinar os lados de um triângulo Tópico resolvido

[Jigsaw]

8 – Determinar os lados de um triângulo, do qual se conhecem o ângulo [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

, a área [tex3]S[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S[/tex3]

, e a soma [tex3]m=a+b-c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m=a+b-c[/tex3]

, onde [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

, [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

e [tex3]c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c[/tex3]

são os lados do triângulo.

Resposta

---

S/ GAB

[petras]

Jigsaw,

Segue uma ideia mas falta encontrar a e b

Traçando a bissetriz em C e o c´rrculo inscrito de raio r:

[tex3]

CF+CG=a+b−(AG+BF)=a+b−(AE+EB)=a+b−c=m\\

mas ~CF=CG \implies CF=\frac{m}{2}\\

\frac{r}{CF}=tan(\frac{\angle C}{2})⇒r=\frac{m}{2}cot(\frac{\angle C}{2})\\
S=\frac{(a+b+c)r}{2} \implies a+b+c=\frac{2S}{r}\\
c=\frac{1}{2}(a+b+c−(a+b−c))=\frac{1}{2}(\frac{2}{S}r−m)=\frac{1}{2}(\frac{m.cot(\frac{\angle C}{2})}{S}-m)\\
\begin{cases}
a+b=m+c \\
S=\dfrac{1}{2}absen(\angle C) \implies ab = \dfrac{2S}{sen \angle C}
\end{cases}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

CF+CG=a+b−(AG+BF)=a+b−(AE+EB)=a+b−c=m\\

mas ~CF=CG \implies CF=\frac{m}{2}\\

\frac{r}{CF}=tan(\frac{\angle C}{2})⇒r=\frac{m}{2}cot(\frac{\angle C}{2})\\
S=\frac{(a+b+c)r}{2} \implies a+b+c=\frac{2S}{r}\\
c=\frac{1}{2}(a+b+c−(a+b−c))=\frac{1}{2}(\frac{2}{S}r−m)=\frac{1}{2}(\frac{m.cot(\frac{\angle C}{2})}{S}-m)\\
\begin{cases}
a+b=m+c \\
S=\dfrac{1}{2}absen(\angle C) \implies ab = \dfrac{2S}{sen \angle C}
\end{cases}

[/tex3]

(Solução:LuisFuentes)

*Agora precisaria isolar a e b no sistema