Observe
Oba! Mais uma questão com gabarito
Uma solução ( Comentários ) :
Do enunciado, temos
f'( x ) = 2ax + b
f'( - 1/2 ) = - a + b
Mas , f'( - 1/2 ) = 10 , daí
- a + b = 10 ( I )
Analisando o gráfico, podemos extrair:
• x = 1 e f( x ) = y = 0
Substituindo em f( x ) = ax² + bx + c , obtemos
a + b + c = 0 ( I I )
• x = - 1 e f( x ) = y = 0
Substituindo em f( x ) = ax² + bx + c , obtemos
a - b + c = 0 ( I I I )
De ( I ) , ( I I ) e ( I I I ) , teremos o seguinte sistema
{ - a + b = 10
{ a + b + c = 0
{ a - b + c = 0
Donde obtemos , a = - 10 , b = 0 e c = 10.
Logo,
f( x ) = - 10x² + 10
Comentários:
1 - reta tangente ao gráfico da função f, no ponto correspondente a x = 1/2 é perpendicular à reta tangente ao mesmo gráfico, no ponto correspondente a x = - 1/2.
Para ganharmos tempo , basta calcularmos o coeficiente angular da reta tangente a f(x) , ou seja , devemos encontrar f'( 1/2 ) , temos:
f'( x ) = - 20x → f'( 1/2 ) = - 10 ( chamaremos de
m o coeficiente angular da reta tangente a f(x) no ponto de abscissa x = 1/2.
Veja que o autor já forneceu o coeficiente angular da reta tangente a f( x ) no ponto de abscissa x = - 1/2 que vale f'( - 1/2 ) = 10 que chamaremos de m1.
Daí , se y = mx + n e y = m1x + n1 são retas perpendiculares, então os seus coeficientes angulares satisfazem a relação
m.m1 = - 1
Substituindo , vem;
m.m1 = - 1
( - 10 ).( 10 ) ≠ - 1 , portanto
Errado! ( E )
2 - A área da região sob o gráfico da função f é superior a 6 vezes a área da região sob o gráfico da função g.
[tex3]A_{f(x)} = \int\limits_{-1}^{1}( - 10x^2 + 10 )dx[/tex3]
Desenvolvendo, obtemos:
Af(x) = 40/3m² = 13,3333333333m²
Ainda,
[tex3]A_{g(x)} = \int\limits_{-1}^{1}\sqrt{ 1 - x^2 }dx[/tex3]
[tex3]A_{g(x)} = 2.\int\limits_{0}^{1}\sqrt{ 1 - x^2 }dx[/tex3]
Para resolver a integral acima , você tem que utilizar a seguinte substituição trigonométrica
x = sen ( u ) → u = arc sen ( x ) , dx = cos ( u ) du.
Fazendo as devidas substituições , obtemos
Ag(x) = π/2 m² = 1,57079632678 m²
Obs.1 Caso não queira usar integral e para ganharmos tempo , basta você utilizar a fórmula para calcular a área do círculo .
A = π.r² = π.1² = π m²
Como temos só a metade do círculo , logo
Ag(x) = π/2m²
Agora , basta comparar... , de fato a área da região sob o gráfico da função f é
superior a 6 vezes a área da região sob o gráfico da função g. Portanto ,
Certo! ( C )
Obs.2
A área da região sob o gráfico da função f é superior até mesmo a oito (8) vezes a área da região sob o gráfico da função
Por fim,
3- [tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = + ∞ [/tex3]
Temos,
[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{- 10x^2 + 10}{\sqrt{1 - x^2 }}\right) = [/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{\frac{ ( 10 - 10x^2 )^2}{1 - x^2 }} = [/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{\frac{ 10^2.( 1 - x^2 )^2}{1 - x^2 }} = [/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{\frac{ 100.( 1 - x^2 ).\cancel{( 1 - x^2 )}}{\cancel{1 - x^2} }} = [/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{100.( 1 - x^2 )} = [/tex3]
√[ 100.( 1 - 1² ) ] = √[ 100.( 1 - 1 ) = √[ 100.0 ] = √0 = 0 ≠ + ∞ . Portanto ,
Errado! ( E )
Detalhes adicionais:
A equação da reta tangente a f(x) em ( 1/2 , f( 1/2 ) ) é :
y - f( 1/2 ) = f'( 1/2 ).[ x - ( 1/2 ) ]
{ f( 1/2 ) = 15/2
{ f'( x ) = - 20x → f'( 1/2 ) = - 10
Assim, y - ( 15/2 ) = - 10.[ x - ( 1/2 ) ] → y = - 10x + ( 25/2 ) é a equação da reta tangente a f(x) em ( 1/2 , f( 1/2 ) ).
Já a equação da reta tangente a f(x) no ponto ( - 1/2 , f( - 1/2 ) ) é y = 10x + ( 25/2 ).
Excelente estudo!