Cap. 22 - Áreas de Regiones Circulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:18 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
18 - Na figura, determinar a relacão entre
a área sombreada e a área do [tex3]\Delta [/tex3]ABC

Resposta

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B) [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3]

[petras]

Sejam R1 e R2 e R3 os raios das semi-círcunferências da menor para a maior que estão sobre a hipotenusa AC.

Pelo Teorema de Burlet:
[tex3][ABC]=(2R_1)\cdot(2R_2)\cdot\cotg\left(\frac{90^{\circ}}{2}\right)\\
[ABC]=4\cdot R_1\cdot R_2\cdot1\\
\boxed{[ABC]=4R_1R_2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][ABC]=(2R_1)\cdot(2R_2)\cdot\cotg\left(\frac{90^{\circ}}{2}\right)\\
[ABC]=4\cdot R_1\cdot R_2\cdot1\\
\boxed{[ABC]=4R_1R_2}[/tex3]

Note que [tex3]R_3=\frac{2R_1+2R_2}{2}\implies \boxed{R_3=R_1+R_2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R_3=\frac{2R_1+2R_2}{2}\implies \boxed{R_3=R_1+R_2}[/tex3]

Área Hachurada:
[tex3]A_{hachurada}=\frac12\pi (R_1+R_2)^2-\frac12(\pi R_1^2+\pi R_2^2)\\
A_{hachurada}=\frac12\cdot\pi\cdot(R_1^2+R_2^2+2R_1R_2-R_1^2-R_2^2)\\
A_{hachurada}=\frac12\cdot\pi\cdot(2R_1R_2)\\
\boxed{A_{hachurada}=\pi R_1R_2}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{hachurada}=\frac12\pi (R_1+R_2)^2-\frac12(\pi R_1^2+\pi R_2^2)\\
A_{hachurada}=\frac12\cdot\pi\cdot(R_1^2+R_2^2+2R_1R_2-R_1^2-R_2^2)\\
A_{hachurada}=\frac12\cdot\pi\cdot(2R_1R_2)\\
\boxed{A_{hachurada}=\pi R_1R_2}
[/tex3]

A razão entre a área sombreada e a região triangular ABC é:
[tex3]\frac{A_{hachurada}}{[ABC]}=\frac{\pi R_1R_2}{4R_1R_2}\\
\boxed{\boxed{\frac{A_{hachurada}}{[ABC]}=\frac{\pi}{4}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{A_{hachurada}}{[ABC]}=\frac{\pi R_1R_2}{4R_1R_2}\\
\boxed{\boxed{\frac{A_{hachurada}}{[ABC]}=\frac{\pi}{4}}}[/tex3]

(Solução:rodBR - viewtopic.php?t=89409)