Ensino Fundamental

Mensagempor **geobson** » 04 Mai 2021, 22:12 · Mensagem por **geobson** » 04 Mai 2021, 22:12

As circunferências são concêntricas, T é ponto de tangência , AB=3 e AD=10. Calcule DP.
A)12
B)8
C)6
D)3 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
E)2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

B

Mensagempor **FelipeMartin** » 05 Mai 2021, 06:00 · Mensagem por **FelipeMartin** » 05 Mai 2021, 06:00

Seja [tex3]O[/tex3] o centro comum das duas circunferências e seja [tex3]H[/tex3] o pé da altura de [tex3]O[/tex3] em relação à reta [tex3]\overleftrightarrow{AB}[/tex3] .

[tex3]\triangle AOH \cong \triangle DOH[/tex3] , pois ambos são retângulos em [tex3]H[/tex3] de mesma hipotenusa [tex3]AO=DO[/tex3] e mesmo cateto [tex3]OH[/tex3] , logo [tex3]\angle OAB = \angle ODC[/tex3] .

[tex3]\triangle BOH \cong \triangle COH[/tex3] , pois ambos são retângulos em [tex3]H[/tex3] de mesma hipotenusa [tex3]BO=CO[/tex3] e mesmo cateto [tex3]OH[/tex3] , logo [tex3]\angle OBC = \angle OCB[/tex3] .

Então [tex3]\triangle OAB \cong \triangle ODC[/tex3] , pois ambos possuem os três ângulos iguais (pelas congruências acima) e mesmo lado [tex3]OA=OD[/tex3] , logo [tex3]AB = CD = 3[/tex3] .

A potência de [tex3]D[/tex3] : [tex3]DT^2 = DC \cdot DB = 3 \cdot (10-3) \implies DT = \sqrt{21}[/tex3] .

Veja se você consegue justificar o porquê que [tex3]\triangle OTP \cong \triangle OTD[/tex3] e conclua que [tex3]DP = 2\sqrt{21}[/tex3]

Mensagempor **geobson** » 05 Mai 2021, 07:15 · Mensagem por **geobson** » 05 Mai 2021, 07:15

FelipeMartin, impressionante a falta de atenção de quem edita esses livros, parece que saem trocando as alternativas das questões .parecem que fazem tudo ás pressas , vao só jogando as questoes dos bancos de dados sem nem revisar...

Mensagempor **FelipeMartin** » 05 Mai 2021, 07:20 · Mensagem por **FelipeMartin** » 05 Mai 2021, 07:20

geobson, Esses livros têm uma teoria fantástica, muitos resultados úteis e impressionantes, mas os enunciados deles e os gabaritos são de fazer chorar.

Você consegue a provar a congruência daqueles dois últimos triângulos?

Mensagempor **geobson** » 05 Mai 2021, 07:29 · Mensagem por **geobson** » 05 Mai 2021, 07:29

FelipeMartin escreveu: ↑05 Mai 2021, 07:20 Você consegue a provar a congruência daqueles dois últimos triângulos?

OD perpendicular à OT, OD =OP, pois são raios , sao congruentes no caso L.L.L, pois OT é mediana , altura e bissetriz de ODP.

Mensagempor **FelipeMartin** » 05 Mai 2021, 07:32 · Mensagem por **FelipeMartin** » 05 Mai 2021, 07:32

geobson, não pode ser LLL porque você não sabe que T é ponto médio, você quer provar isso. Mas a ideia é essa que você teve: OPT e ODT são dois triângulos retângulos de mesmo cateto OT e mesmas hipotenusas OD=OP, logo são congruentes (pense num Pitágoras). E por isso que PT=TD.

Mensagempor **geobson** » 05 Mai 2021, 07:45 · Mensagem por **geobson** » 05 Mai 2021, 07:45

FelipeMartin, ah..entendi ..

Mensagempor **petras** » 05 Mai 2021, 08:46 · Mensagem por **petras** » 05 Mai 2021, 08:46

FelipeMartin,

Graficamente o valor seria outro

Mensagempor **FelipeMartin** » 05 Mai 2021, 08:48 · Mensagem por **FelipeMartin** » 05 Mai 2021, 08:48

petras, porque eu não sei subtrair!

HAHAHAAHA

A potência de D é [tex3]3 \cdot 7 = 21[/tex3] , logo a resposta final é [tex3]2\sqrt{21}[/tex3] .

Obrigado, petras!

Mensagempor **petras** » 05 Mai 2021, 08:52 · Mensagem por **petras** » 05 Mai 2021, 08:52

FelipeMartin,

É isso ai...

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Circunferências concêntricas.

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