Pré-Vestibular ⇒ (UCB 2017) Probabilidade Tópico resolvido

[Mariapazza]

Considere uma circunferência, um triângulo equilátero ABC nela inscrito, e todas as cordas dessa circunferência que têm uma das extremidades no ponto A. Ao selecionar aleatoriamente uma dessas cordas, qual é a probabilidade de que ela tenha comprimento menor que o do lado do triângulo ABC?

A) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

B) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

C) [tex3]\frac{1}{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{6}[/tex3]

D) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

E) [tex3]\frac{5}{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{6}[/tex3]

[Planck]

Olá, Mariapazza.

A representação (em roxo) de todas as cordas menores que o lado do triângulo ABC é a seguinte:

7435CED6-908A-483E-9B1D-C41BA6C54FAC.png (151.55 KiB) Exibido 1253 vezes

Agora, note que o triângulo equilátero divide o comprimento da circunferência em três partes iguais: [tex3]\widehat{\text{AC}}, \ \widehat{\text{CB}} \,\, \mathsf{ e} \,\,\, \widehat{\text{BA}}. [/tex3]

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[tex3]\widehat{\text{AC}}, \ \widehat{\text{CB}} \,\, \mathsf{ e} \,\,\, \widehat{\text{BA}}. [/tex3]

Todas as cordas menores que o lado do triângulo ABC estão compreendidos das regiões cujo os comprimentos da circunferência são [tex3]\widehat{\text{AC}}[/tex3]

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[tex3]\widehat{\text{AC}}[/tex3]

e [tex3]\widehat{\text{BA}}.[/tex3]

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[tex3]\widehat{\text{BA}}.[/tex3]

Assim, podemos afirmar que a probabilidade será dada por:

[tex3]\mathrm{
P = \frac{\widehat{AC} + \widehat{BA}}{\widehat{AC} + \widehat{CB} + \widehat{BA}} = \frac{2}{3}
}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{
P = \frac{\widehat{AC} + \widehat{BA}}{\widehat{AC} + \widehat{CB} + \widehat{BA}} = \frac{2}{3}
}[/tex3]