Ensino Superior ⇒ Física Geral e Experimental I Tópico resolvido

[Hully]

Resolva passo a passo o exercício dado a seguir:

Certa estrutura vertical de 120m de altura é sustentada por um cabo, como mostra a figura a seguir. Sabendo que a força de tração nesse cabo é de 2000N, determinar as componentes Fx , Fy e Fz dessa força.

[Planck]

Olá Hully,

Inicialmente, podemos fazer que:

[tex3]\vec F=F \cdot \vec u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec F=F \cdot \vec u[/tex3]

Mas, sabe-se que:

[tex3]\vec u=\frac{\vec r }{|r|}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec u=\frac{\vec r }{|r|}[/tex3]

Com isso, chegamos a:

[tex3]\vec F = 2000 \cdot \left(\frac{\vec r }{|r|} \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec F = 2000 \cdot \left(\frac{\vec r }{|r|} \right)[/tex3]

O vetor [tex3]\vec r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec r[/tex3]

pode ser definido como:

[tex3]\vec r = d_xi+d_yj+d_zk[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec r = d_xi+d_yj+d_zk[/tex3]

Ou:

[tex3]|r|=\sqrt{d_xi^2+d_yj^2+d_zk^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|r|=\sqrt{d_xi^2+d_yj^2+d_zk^2}[/tex3]

[tex3]|r|=\sqrt{-50^2+100^2+20^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|r|=\sqrt{-50^2+100^2+20^2}[/tex3]

[tex3]|r|=10\sqrt{129}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|r|=10\sqrt{129}[/tex3]

Então, podemos substituir:

[tex3]\vec F = 2000 \cdot \left(\frac{-50i+100j+20k }{10\sqrt{129}} \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec F = 2000 \cdot \left(\frac{-50i+100j+20k }{10\sqrt{129}} \right)[/tex3]

Ou:

[tex3]\vec F=2000\cdot\frac{-50i}{10\sqrt{129}}+2000\cdot\frac{100j}{10\sqrt{129}}+2000\cdot\frac{20k}{10\sqrt{129}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec F=2000\cdot\frac{-50i}{10\sqrt{129}}+2000\cdot\frac{100j}{10\sqrt{129}}+2000\cdot\frac{20k}{10\sqrt{129}}[/tex3]

[tex3]\vec F=2000\cdot\frac{-5i}{\sqrt{129}}+2000\cdot\frac{10j}{\sqrt{129}}+2000\cdot\frac{2k}{\sqrt{129}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec F=2000\cdot\frac{-5i}{\sqrt{129}}+2000\cdot\frac{10j}{\sqrt{129}}+2000\cdot\frac{2k}{\sqrt{129}}[/tex3]

[tex3]\vec F=2000\cdot\frac{-5i\sqrt{129}}{{129}}+2000\cdot\frac{10j\sqrt{129}}{{129}}+2000\cdot\frac{2k\sqrt{129}}{{129}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec F=2000\cdot\frac{-5i\sqrt{129}}{{129}}+2000\cdot\frac{10j\sqrt{129}}{{129}}+2000\cdot\frac{2k\sqrt{129}}{{129}}[/tex3]

[tex3]\vec F=\frac{-10000i\sqrt{129}}{{129}}+\frac{20000j\sqrt{129}}{{129}}+\frac{4000k\sqrt{129}}{{129}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec F=\frac{-10000i\sqrt{129}}{{129}}+\frac{20000j\sqrt{129}}{{129}}+\frac{4000k\sqrt{129}}{{129}}[/tex3]

Assim:

[tex3]F_x=\frac{-10000\sqrt{129}}{{129}} \boxed{\approx -880,45[N]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_x=\frac{-10000\sqrt{129}}{{129}} \boxed{\approx -880,45[N]}[/tex3]

[tex3]F_y=\frac{20000\sqrt{129}}{{129}} \boxed{\approx 1760,90[N]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_y=\frac{20000\sqrt{129}}{{129}} \boxed{\approx 1760,90[N]}[/tex3]

[tex3]F_z=\frac{4000\sqrt{129}}{{129}} \boxed{\approx 352,18[N]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_z=\frac{4000\sqrt{129}}{{129}} \boxed{\approx 352,18[N]}[/tex3]

[fabiostillos]

Boas amigo! Poderia revisar essa resolução pois a ordem de dyj e dzk. estão invertidas e o valor de dzk seria a altura que é 120.

[Planck]

Boas amigo! Poderia revisar essa resolução pois a ordem de dyj e dzk. estão invertidas e o valor de dzk seria a altura que é 120.

Vou revisar e colocar a solução adequada.

[fabiostillos]

Muito Obrigado amigo!

[Planck]

O vetor força será dado por:

[tex3]\vec{\text F} = \( \text F ~\hat i, \text F ~\hat j, \text F ~\hat k\) \iff \vec{\text F} = \(2000 \cdot \frac{50}{\text L}, ~2000\cdot \frac{-20}{\text L}.~ 2000 \cdot \frac{120}{\text L} \)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{\text F} = \( \text F ~\hat i, \text F ~\hat j, \text F ~\hat k\) \iff \vec{\text F} = \(2000 \cdot \frac{50}{\text L}, ~2000\cdot \frac{-20}{\text L}.~ 2000 \cdot \frac{120}{\text L} \)[/tex3]

Da Geometria espacial, podemos fazer que:

[tex3]\text L = \sqrt{50^2 + (-20)^2 + 120^2} \implies \text L = 10\sqrt{173}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text L = \sqrt{50^2 + (-20)^2 + 120^2} \implies \text L = 10\sqrt{173}[/tex3]

Logo, vem que:

[tex3]\text F ~ \hat j= \text F_y=2000 \cdot \frac{-20}{10\sqrt {173}} \approx -304 \text{ N }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text F ~ \hat j= \text F_y=2000 \cdot \frac{-20}{10\sqrt {173}} \approx -304 \text{ N }[/tex3]

[fabiostillos]

O vetor força será dado por:

[tex3]\vec{\text F} = \( \text F ~\hat i, \text F ~\hat j, \text F ~\hat k\) \iff \vec{\text F} = \(2000 \cdot \frac{50}{\text L}, ~2000\cdot \frac{-20}{\text L}.~ 2000 \cdot \frac{120}{\text L} \)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{\text F} = \( \text F ~\hat i, \text F ~\hat j, \text F ~\hat k\) \iff \vec{\text F} = \(2000 \cdot \frac{50}{\text L}, ~2000\cdot \frac{-20}{\text L}.~ 2000 \cdot \frac{120}{\text L} \)[/tex3]

Da Geometria espacial, podemos fazer que:

[tex3]\text L = \sqrt{50^2 + (-20)^2 + 120^2} \implies \text L = 10\sqrt{173}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text L = \sqrt{50^2 + (-20)^2 + 120^2} \implies \text L = 10\sqrt{173}[/tex3]

Logo, vem que:

[tex3]\text F ~ \hat j= \text F_y=2000 \cdot \frac{-20}{10\sqrt {173}} \approx -304 \text{ N }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text F ~ \hat j= \text F_y=2000 \cdot \frac{-20}{10\sqrt {173}} \approx -304 \text{ N }[/tex3]

então Fz fica assim? Fz = -2000*120/(50^2 + 20^2 + 120^2)^0,5 = -1825 N

[fabiostillos]

Fx = 2000*50/(50^2 + 20^2 + 120^2)^0,5 = 760 N

Fy = -2000*20/(50^2 + 20^2 + 120^2)^0,5 = - 304 N

Fz = -2000*120/(50^2 + 20^2 + 120^2)^0,5 = -1825 N

Ficaria assim as 3?

[Planck]

Fx = 2000*50/(50^2 + 20^2 + 120^2)^0,5 = 760 N

Fy = -2000*20/(50^2 + 20^2 + 120^2)^0,5 = - 304 N

Fz = -2000*120/(50^2 + 20^2 + 120^2)^0,5 = -1825 N

Ficaria assim as 3?

Exatamente.