Resposta
R:1
Olimpíadas ⇒ Geometria - Problema 2 Tópico resolvido
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jvmago
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Nov 2018
30
21:55
Geometria - Problema 2
Em um quadrado [tex3]ABCD[/tex3]
inscreve-se uma circunferência de centro [tex3]O[/tex3]
cujos pontos de tangencia [tex3]E,F,G,H[/tex3]
estão nos lados [tex3]AB,BC,CD,AD[/tex3]
. Marca-se um ponto [tex3]P[/tex3]
sobre o comprimento do arco menor [tex3]FG[/tex3]
. Sabendo-se que [tex3]PD^2-PB^2=2[/tex3]
determine [tex3]PH^2-PE^2[/tex3]
R:1
R:1
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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jvmago
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Dez 2018
01
11:56
Re: Geometria - Problema 2
- geogebra-export (4).png (78.64 KiB) Exibido 1546 vezes
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Dez 2018
01
17:46
Re: Geometria - Problema 2
contas por contas eu faço por analítica hehehe
origem do sistema no centro do quadrado, eixo x paralelo à AD crescendo pra direita, eixo y paralelo à AB crescendo para cima.
[tex3]A = (-a,-a)[/tex3]
[tex3]B = (-a,a)[/tex3]
[tex3]C = (a,a)[/tex3]
[tex3]D = (a,-a)[/tex3]
[tex3]E = (-a,0)[/tex3]
[tex3]H = (0,-a)[/tex3]
[tex3]P = (x,y)[/tex3] com [tex3]x^2 + y^2 = a^2[/tex3]
[tex3]PD^2 - PB^2 =(x-a)^2 + (y+a)^2 -(x+a)^2 - (y-a)^2 = -4xa +4ya = 4a(y-x) = 2[/tex3]
[tex3]PH^2 - PE^2 = x^2 + (y+a)^2 - (x+a)^2 - y^2 = -a^2-2ax + 2ay + a^2 = 2a(y-x) = \frac 22 =1[/tex3]
o ponto P podia estar em qualquer quadrante, e me parece que nem na circunferência precisava estar!!!
origem do sistema no centro do quadrado, eixo x paralelo à AD crescendo pra direita, eixo y paralelo à AB crescendo para cima.
[tex3]A = (-a,-a)[/tex3]
[tex3]B = (-a,a)[/tex3]
[tex3]C = (a,a)[/tex3]
[tex3]D = (a,-a)[/tex3]
[tex3]E = (-a,0)[/tex3]
[tex3]H = (0,-a)[/tex3]
[tex3]P = (x,y)[/tex3] com [tex3]x^2 + y^2 = a^2[/tex3]
[tex3]PD^2 - PB^2 =(x-a)^2 + (y+a)^2 -(x+a)^2 - (y-a)^2 = -4xa +4ya = 4a(y-x) = 2[/tex3]
[tex3]PH^2 - PE^2 = x^2 + (y+a)^2 - (x+a)^2 - y^2 = -a^2-2ax + 2ay + a^2 = 2a(y-x) = \frac 22 =1[/tex3]
o ponto P podia estar em qualquer quadrante, e me parece que nem na circunferência precisava estar!!!
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 01 Dez 2018, 17:48, em um total de 2 vezes.
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jvmago
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Dez 2018
02
12:16
Re: Geometria - Problema 2
Trace [tex3]PA[/tex3]
e você vai percerber que [tex3]PE[/tex3]
e [tex3]PH[/tex3]
serão medianas dos [tex3]\Delta BPA[/tex3]
e [tex3]\Delta APD[/tex3]
respectivamente então pelo teorema da mediana:
[tex3]4PE^2=2BP^2+2PA^2-l^2[/tex3]
[tex3]4PE^2=2BP^2+2PA^2-l^2[/tex3] (1)
[tex3]4PH^2=2PD^2+2PA^2-l^2[/tex3] (2)
Fazendo (1)-(2)
[tex3]4(PE^2-PH^2)=2(BP^2-PD^2)[/tex3]
[tex3]PE^2-PH^2=\frac{BP^2-PD^2}{2}[/tex3]
[tex3]4PE^2=2BP^2+2PA^2-l^2[/tex3]
[tex3]4PE^2=2BP^2+2PA^2-l^2[/tex3] (1)
[tex3]4PH^2=2PD^2+2PA^2-l^2[/tex3] (2)
Fazendo (1)-(2)
[tex3]4(PE^2-PH^2)=2(BP^2-PD^2)[/tex3]
[tex3]PE^2-PH^2=\frac{BP^2-PD^2}{2}[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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