Ensino Superior ⇒ mecanica classica lagrange Tópico resolvido

[gerlanmatfis]

uma partícula de massa m é constrangida a mover-se na superfície interna com um cone liso de meio ângulo. A partícula está sujeita a uma força gravitacional. Determine um conjunto de coordenadas generalizadas e determine as restrições. Encontre a equação de movimento de lagrange

[Andre13000]

Defina a coordenada horizontal x, a transversal z, e a vertical y.

[tex3]z=r\cos\theta\\
x=r\sen\theta\\
y=r\cot\alpha\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=r\cos\theta\\
x=r\sen\theta\\
y=r\cot\alpha\\
[/tex3]

Temos que:

[tex3]mgy+\frac{mv^2}{2}=C[/tex3]

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[tex3]mgy+\frac{mv^2}{2}=C[/tex3]

C é uma constante. Observe que se t define a quantidade de tempo, então [tex3]v^2=\frac{dx^2}{dt^2}+\frac{dy^2}{dt^2}+\frac{dz^2}{dt^2}[/tex3]

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[tex3]v^2=\frac{dx^2}{dt^2}+\frac{dy^2}{dt^2}+\frac{dz^2}{dt^2}[/tex3]

\\

[tex3]dx=\sen\theta ~dr +r\cos\theta~ d\theta\\
dy=\cot\alpha~ dr-r\csc^2\alpha~d\alpha\\
dz=cos\theta~dr-r\sen\theta~d\theta[/tex3]

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[tex3]dx=\sen\theta ~dr +r\cos\theta~ d\theta\\
dy=\cot\alpha~ dr-r\csc^2\alpha~d\alpha\\
dz=cos\theta~dr-r\sen\theta~d\theta[/tex3]

Basicamente você tem que elevar tudo ao quadrado e somar. Eu não farei esse cálculo. Suponha que:

[tex3]v^2=\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2=f(r,\theta,\alpha)[/tex3]

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[tex3]v^2=\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2=f(r,\theta,\alpha)[/tex3]

[tex3]mgr\cot\alpha+\frac{mf(r,\theta,\alpha)}{2}=C[/tex3]

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[tex3]mgr\cot\alpha+\frac{mf(r,\theta,\alpha)}{2}=C[/tex3]

A Lagrangiana: [tex3]L=T-V=\frac{mf}{2}-mgr\cot \alpha[/tex3]

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[tex3]L=T-V=\frac{mf}{2}-mgr\cot \alpha[/tex3]

Vamos ter três equações:

[tex3]\frac{d}{dt}\(\frac{\partial L}{\partial \dot r}\)+\frac{\partial L}{\partial r}=0\\
\frac{d}{dt}\(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}\)+\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\\
\frac{d}{dt}\(\frac{\partial L}{\partial \dot \alpha}\)+\frac{\partial L}{\partial \alpha}=0[/tex3]

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[tex3]\frac{d}{dt}\(\frac{\partial L}{\partial \dot r}\)+\frac{\partial L}{\partial r}=0\\
\frac{d}{dt}\(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}\)+\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\\
\frac{d}{dt}\(\frac{\partial L}{\partial \dot \alpha}\)+\frac{\partial L}{\partial \alpha}=0[/tex3]

A partir daí, você obteve as equações de movimento de lagrange.

Obs: esqueci que alfa é constante, então você pode esquecer a terceira equação.