IME / ITA ⇒ (EN) Limites Tópico resolvido

[nanzinho12]

O valor [tex3]\lim_{x \to 0}\frac{ln(x+1)-senx}{sen^2x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \to 0}\frac{ln(x+1)-senx}{sen^2x}[/tex3]

é :

a) [tex3]\infty[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\infty[/tex3]

b) -1/2
c) 0
d) 1/2
e) não existe
Gabarito = -1/2 .

[LucasPinafi]

Veja que é um limite indeterminado da forma 0/0. Aplicando L'Hospital, temos que:
[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{\ln ( x+ 1) - \sen x}{\sen^2 x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac 1{x+1} - \cos x}{\cancelto{\sin(2x)}{2 \sin x \cos x}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{\ln ( x+ 1) - \sen x}{\sen^2 x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac 1{x+1} - \cos x}{\cancelto{\sin(2x)}{2 \sin x \cos x}}[/tex3]

que, novamente, é um limite indeterminado da forma 0/0. Aplicando novamente L'Hospital, segue que:
[tex3]\lim_{x\to0} \frac{\ln(x+1) - \sin x}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0 } \frac{-\frac{1}{(x+1)^2 }+\sin x}{2 \cos (2x)} = \frac{\frac{-1}{(0+1)^2}- 0 }{2} = -\frac
1 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to0} \frac{\ln(x+1) - \sin x}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0 } \frac{-\frac{1}{(x+1)^2 }+\sin x}{2 \cos (2x)} = \frac{\frac{-1}{(0+1)^2}- 0 }{2} = -\frac
1 2[/tex3]

[nanzinho12]

muito obrigado cara !