Seja
a) Prove que
apenas se é primo ou .
Gostaria, se possível, de alguma ideia para começar.
um inteiro positivo e sejam seus divisores positivos.Olimpíadas ⇒ (OBM) Teoria dos Números
- InViSiVeL
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Nov 2015
18
21:18
(OBM) Teoria dos Números
Editado pela última vez por InViSiVeL em 18 Nov 2015, 21:18, em um total de 2 vezes.
- Ittalo25
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Nov 2015
19
01:16
Re: (OBM) Teoria dos Números
Não sei se resolve, mas é uma ideia:
Se k = 2, então é trivial, já que o RHS é:
--------------------------------------------
Suponha então que k é par e maior que dois:
Por outro lado:
O RHS é maior que o LHS, logo a igualdade é absurda.
---------------------------------------------
Suponha então que k é ímpar e maior que três:
Mas sabemos que:
Ora, então para que a igualdade seja verdadeira, devemos ter:
Mas é um número natural, logo para manter a desigualdade deve ser igual a 1.
Daí:
Absurdo, já que n seria primo, mas consideramos k ímpar.
------------------------------------------------
Agora supondo k = 3
Aqui complica
Se k = 2, então é trivial, já que o RHS é:
--------------------------------------------
Suponha então que k é par e maior que dois:
Por outro lado:
O RHS é maior que o LHS, logo a igualdade é absurda.
---------------------------------------------
Suponha então que k é ímpar e maior que três:
Mas sabemos que:
Ora, então para que a igualdade seja verdadeira, devemos ter:
Mas é um número natural, logo para manter a desigualdade deve ser igual a 1.
Daí:
Absurdo, já que n seria primo, mas consideramos k ímpar.
------------------------------------------------
Agora supondo k = 3
Aqui complica
Editado pela última vez por Ittalo25 em 19 Nov 2015, 01:16, em um total de 2 vezes.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
- undefinied3
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Nov 2015
19
02:07
Re: Teoria dos Números
Ittalo, veja que
Segue que
Teríamos então, como você disse:
Ou seja, só vale para como diz o enunciado. Para quaisquer outros números de três divisores, não vale a relação.
Penso que seja isso.
são divisores de um número. A única maneira de um número ter somente três divisores é se ele for o quadrado de um primo. Então temos:Segue que
Teríamos então, como você disse:
Ou seja, só vale para como diz o enunciado. Para quaisquer outros números de três divisores, não vale a relação.
Penso que seja isso.
Editado pela última vez por undefinied3 em 19 Nov 2015, 02:07, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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