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Mensagem não lidapor **ALDRIN** » 01 Out 2015, 13:06 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » 01 Out 2015, 13:06

Em um terreno plano, retangular $ABCD$ , em que $AB = 60\ m$ e $BC = 40\ m$ , é fincada uma estaca em cada vértice. Uma corda $PQ$ , medindo $80\ m$ , tem a sua extremidade $P$ fixada no pé da estaca em $A$ e é mantida completamente esticada de forma que parte dela coincida com o lado $AB$ . Em $B$ , apoiando-se na estaca ali fincada, a corda é dobrada de forma que a extremidade $Q$ fique sobre o lado $BC$ do terreno. A partir dessa situação, com um riscador no ponto $Q$ e mantendo-se a corda sempre esticada e no plano do terreno, risca-se uma curva no chão, no exterior do terreno, até que parte da corda coincida com o lado $AD$ e a extremidade $Q$ fique sobre o lado $DC$ .

Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes.

(1) O comprimento da curva descrita pelo riscador é superior a $450\ m$ .
(2) A área da região exterior ao terreno e limitada pela curva descrita pelo riscador é inferior a [tex3]15.000\ m^2[/tex3] .

Resposta

C, E.

Mensagem não lidapor **ttbr96** » 02 Out 2015, 01:28 · Mensagem não lida por **ttbr96** » 02 Out 2015, 01:28

no primeiro momento a extremidade Q da corda está a 20m da estaca B sobre o lado BC. Deslocando-se a corda até que a extremidade Q coincida com o lado AB, assim formamos $\frac14$ de círculo com raio de 20m. Então:
$C_1 = \frac{2 \cdot \pi \cdot 20}4 = 10 \pi$

no segundo momento a extremidade Q da corda está a 80m da estaca A. Deslocando-se a corda até que a extremidade Q coincida com o lado AD, assim formamos $\frac34$ de círculo com raio de 80m. então:
$C_2 = \frac{3 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 80}4 = 120 \pi$

no terceiro momento a extremidade Q da corda está a 40m da estaca D. Descolando-se a corda até que a extremidade Q esteja sobre o lado DC, assim formamos $\frac14$ círculo com raio de 40m. Então:
$C_3 = \frac{2 \cdot \pi \cdot 40}4 = 20 \pi$

logo, o comprimento da curva descrita pelo riscador será:
$C_1 + C_2 + C_3 = 150 \pi = 150 \cdot 3,1 \approx 465m > 450m$

portanto, o item (1) é verdadeiro.

área formada pela curva $C_1$ :
$A_1 = \frac{20^2 \cdot \pi}4 = 100 \pi$

área formada pela curva $C_2$ :
$A_2 = \frac{3 \cdot 80^2 \cdot \pi}4 = 4.800 \pi$

área formada pela curva $C_3$ :
$A_3 = \frac{40^2 \cdot \pi}4 = 400 \pi$

logo, a área da região esterior ao terreno e limitada pela curva descrita pelo riscador:
$A_1 + A_2 + A_3 = 5.300 \pi = 5.300 \cdot 3,1 \approx 16.430m^2 > 15.000m^2$

portanto: o item (2) é falso.

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