Resposta
[tex3]\sqrt{a²+b²}[/tex3]
- 52-863.png (29.83 KiB) Exibido 1694 vezes
Ensino Fundamental ⇒ Circunferência
-
Flavio2020
- Mensagens: 731
- Registrado em: 06 Fev 2017, 16:29
- Última visita: 12-04-24
- Localização: CACEQUI RS
- Agradeceram: 35 vezes
Fev 2018
07
18:45
Circunferência
Na figura abaixo, calcular PC sendo A e B pontos de tangencia e sabendo que PA é a e DC = b.
[tex3]\sqrt{a²+b²}[/tex3]
[tex3]\sqrt{a²+b²}[/tex3]
Editado pela última vez por Flavio2020 em 08 Fev 2018, 07:50, em um total de 1 vez.
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Fev 2018
07
19:56
Re: Circunferência
alguns fatos:
seja [tex3]X = PD \cap (ACD)[/tex3] (a circunferência por A,C e D)
[tex3]C[/tex3] é o ponto médio do arco [tex3]XD[/tex3] (AC é bissetriz de XAD)
[tex3]PA = PB = a[/tex3]
[tex3]XC = CD = b[/tex3]
triângulo [tex3]ADC[/tex3] é semelhante ao [tex3]AXB[/tex3]
sendo [tex3]Y= PC \cap (ACD)[/tex3]
[tex3]\angle AYP = \angle YAC + \angle YCA = \angle BAP = \angle ABP[/tex3]
logo o quadrilátero [tex3]PABY[/tex3] é cíclico, de onde [tex3]CY \cdot CP = CB \cdot CA[/tex3]
[tex3]PY \cdot PC = a^2 \iff PC(PC - CY) = a^2 \iff PC^2 = a^2 + PC \cdot CY[/tex3]
então falta ainda mostrar que [tex3]CB \cdot CA = b^2[/tex3]
seja [tex3]X = PD \cap (ACD)[/tex3] (a circunferência por A,C e D)
[tex3]C[/tex3] é o ponto médio do arco [tex3]XD[/tex3] (AC é bissetriz de XAD)
[tex3]PA = PB = a[/tex3]
[tex3]XC = CD = b[/tex3]
triângulo [tex3]ADC[/tex3] é semelhante ao [tex3]AXB[/tex3]
sendo [tex3]Y= PC \cap (ACD)[/tex3]
[tex3]\angle AYP = \angle YAC + \angle YCA = \angle BAP = \angle ABP[/tex3]
logo o quadrilátero [tex3]PABY[/tex3] é cíclico, de onde [tex3]CY \cdot CP = CB \cdot CA[/tex3]
[tex3]PY \cdot PC = a^2 \iff PC(PC - CY) = a^2 \iff PC^2 = a^2 + PC \cdot CY[/tex3]
então falta ainda mostrar que [tex3]CB \cdot CA = b^2[/tex3]
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 08 Fev 2018, 12:47, em um total de 8 vezes.
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Fev 2018
08
12:40
Re: Circunferência
Descobri um teorema que resolve a última parte, chama-se "shooting lemma" em inglês:
Sejam [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] pontos quaisquer numa circunferência [tex3]\Gamma[/tex3] e seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio do arco [tex3]XY[/tex3] . Desenhe quaisquer cordas [tex3]MA[/tex3] e [tex3]MB[/tex3] e seja [tex3]C = MB \cap XY[/tex3] e [tex3]D = MA \cap XY[/tex3] . Quadrilátero ABCD é cíclico.
Prova: [tex3]\angle MDC = \frac{XM + YA}{2}[/tex3]
(ângulo entre cordas)
[tex3]\frac{XM + YA}{2} = \angle MAX + \angle YBA = \angle MBY + \angle YBA = \angle MBA[/tex3] .
ao fazer a reta [tex3]MC[/tex3] tender à [tex3]MX[/tex3] terá a potência de M em relação ao círculo [tex3](ABCD)[/tex3] cada vez mais próxima de [tex3]MX^2[/tex3] então: [tex3]MX^2 = MD \cdot MA[/tex3]
Outra forma de ver é observar que [tex3]\Delta MDX \approx \Delta MAX[/tex3]
ao aplicar esse teorema no problema têm-se [tex3]CX^2 = CB \cdot CA = b^2[/tex3]
Sejam [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] pontos quaisquer numa circunferência [tex3]\Gamma[/tex3] e seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio do arco [tex3]XY[/tex3] . Desenhe quaisquer cordas [tex3]MA[/tex3] e [tex3]MB[/tex3] e seja [tex3]C = MB \cap XY[/tex3] e [tex3]D = MA \cap XY[/tex3] . Quadrilátero ABCD é cíclico.
- shooting.png (48.25 KiB) Exibido 1639 vezes
[tex3]\frac{XM + YA}{2} = \angle MAX + \angle YBA = \angle MBY + \angle YBA = \angle MBA[/tex3] .
ao fazer a reta [tex3]MC[/tex3] tender à [tex3]MX[/tex3] terá a potência de M em relação ao círculo [tex3](ABCD)[/tex3] cada vez mais próxima de [tex3]MX^2[/tex3] então: [tex3]MX^2 = MD \cdot MA[/tex3]
Outra forma de ver é observar que [tex3]\Delta MDX \approx \Delta MAX[/tex3]
ao aplicar esse teorema no problema têm-se [tex3]CX^2 = CB \cdot CA = b^2[/tex3]
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 08 Fev 2018, 13:17, em um total de 1 vez.
-
jvmago
- Mensagens: 2746
- Registrado em: 06 Jul 2017, 14:54
- Última visita: 27-05-24
- Agradeceu: 380 vezes
- Agradeceram: 1020 vezes
Out 2020
17
12:41
Re: Circunferência
Voltei para resolver mais algumas!
Essa questão n é difícil só precisamos analisar de outra maneira
Seja M o ponto que PD toca a circunferência tal que
PM=m e BD=n
Como AC é bissetriz então CD=CM=b
Por ponto de tangência PA=PB=a
AQUI MORA A MALDADE*******
Aplicando Stewart no triângulo PDC em relação ao ponto M
x²(n+a-m) + b²m-b²(a+n)=m(a+n)(a-m+n)
Olha que lindo RS CORTA TUDOOOOOO
x²-b²=m(a+n)
Por potencia de ponto em P
a²=m(a+n)
Donde tiramos
x²=a²+b²
PIMBADA
Essa questão n é difícil só precisamos analisar de outra maneira
Seja M o ponto que PD toca a circunferência tal que
PM=m e BD=n
Como AC é bissetriz então CD=CM=b
Por ponto de tangência PA=PB=a
AQUI MORA A MALDADE*******
Aplicando Stewart no triângulo PDC em relação ao ponto M
x²(n+a-m) + b²m-b²(a+n)=m(a+n)(a-m+n)
Olha que lindo RS CORTA TUDOOOOOO
x²-b²=m(a+n)
Por potencia de ponto em P
a²=m(a+n)
Donde tiramos
x²=a²+b²
PIMBADA
Editado pela última vez por jvmago em 17 Out 2020, 12:43, em um total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
geobson
- Mensagens: 3857
- Registrado em: 02 Jun 2013, 20:01
- Última visita: 03-06-24
- Agradeceu: 54 vezes
- Agradeceram: 65 vezes
Mai 2024
10
19:54
Re: Circunferência
………………,,,,………………………………………..
- Anexos
-
- IMG_9059.jpeg (109.85 KiB) Exibido 145 vezes
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 1 Resp.
- 1905 Exibições
-
Últ. msg por candre
-
- 11 Resp.
- 27170 Exibições
-
Últ. msg por Delick
-
- 4 Resp.
- 389 Exibições
-
Últ. msg por poti
-
- 1 Resp.
- 459 Exibições
-
Últ. msg por roberto
-
- 1 Resp.
- 12105 Exibições
-
Últ. msg por PedroCunha
