Olimpíadas ⇒ Álgebra Tópico resolvido
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goncalves3718
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Jan 2021
06
15:37
Álgebra
Encontre todos os inteiros [tex3]m,n,a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
tais que [tex3]a^mb^n = (a+b)^2+1[/tex3]
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Ittalo25
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Jan 2021
06
17:54
Re: Álgebra
Tem o gabarito? Parece ter muitos casos para testar, só escrevi um começo
Obviamente [tex3]a,b\neq 0[/tex3]
Começar com [tex3]m,n\geq 0[/tex3] e [tex3]a,b> 0[/tex3]
[tex3]mdc(a,b) = d\rightarrow \begin{cases}
a=dx \\
b=dy
\end{cases}\rightarrow mdc(x,y) = 1 [/tex3]
[tex3]a^mb^n = (a+b)^2+1[/tex3]
[tex3]d^{m+n} \cdot x^m \cdot y^n = d^2x^2+d^2y^2+2d^2xy+1[/tex3]
Se [tex3]d^{2}|d^{m+n} [/tex3] , então [tex3]d|1 \rightarrow d = 1 [/tex3]
Então para d>1:
[tex3]m+n = 1 [/tex3] ou [tex3]m+n = 0 [/tex3]
Se d =1, então existem naturais k e w tais que [tex3]kx-wy = 1 [/tex3] (Teorema de Bezout)
[tex3]x^m \cdot y^n = x^2+y^2+2xy+1[/tex3]
[tex3]x^m \cdot y^n = x^2+y^2+2xy+kx-wy[/tex3]
[tex3]x^m \cdot y^n = x\cdot (x+k)+y \cdot (y-w)+2xy[/tex3]
Então: [tex3]x|y-w\rightarrow y-w = xl [/tex3] com [tex3]l<y[/tex3]
Também: [tex3]y|x+k\rightarrow x+k = yu [/tex3] com [tex3]u<x [/tex3]
Substituíndo:
[tex3]x^m \cdot y^n = xyu+yxl+2xy[/tex3]
[tex3]x^{m-1} \cdot y^{n-1} = u+l+2[/tex3]
Só que:
[tex3]x^{m-1} \cdot y^{n-1} = u+l+2 < x+y+2[/tex3]
[tex3]x^{m-2} \cdot y^{n-2} < \frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{2}{xy} \leq 4[/tex3]
[tex3]x^{m-2} \cdot y^{n-2} \leq 3[/tex3]
O que já restringe bastante se eu estive certo [tex3]x,y\in \{1,2,3\}[/tex3]
Obviamente [tex3]a,b\neq 0[/tex3]
Começar com [tex3]m,n\geq 0[/tex3] e [tex3]a,b> 0[/tex3]
[tex3]mdc(a,b) = d\rightarrow \begin{cases}
a=dx \\
b=dy
\end{cases}\rightarrow mdc(x,y) = 1 [/tex3]
[tex3]a^mb^n = (a+b)^2+1[/tex3]
[tex3]d^{m+n} \cdot x^m \cdot y^n = d^2x^2+d^2y^2+2d^2xy+1[/tex3]
Se [tex3]d^{2}|d^{m+n} [/tex3] , então [tex3]d|1 \rightarrow d = 1 [/tex3]
Então para d>1:
[tex3]m+n = 1 [/tex3] ou [tex3]m+n = 0 [/tex3]
Se d =1, então existem naturais k e w tais que [tex3]kx-wy = 1 [/tex3] (Teorema de Bezout)
[tex3]x^m \cdot y^n = x^2+y^2+2xy+1[/tex3]
[tex3]x^m \cdot y^n = x^2+y^2+2xy+kx-wy[/tex3]
[tex3]x^m \cdot y^n = x\cdot (x+k)+y \cdot (y-w)+2xy[/tex3]
Então: [tex3]x|y-w\rightarrow y-w = xl [/tex3] com [tex3]l<y[/tex3]
Também: [tex3]y|x+k\rightarrow x+k = yu [/tex3] com [tex3]u<x [/tex3]
Substituíndo:
[tex3]x^m \cdot y^n = xyu+yxl+2xy[/tex3]
[tex3]x^{m-1} \cdot y^{n-1} = u+l+2[/tex3]
Só que:
[tex3]x^{m-1} \cdot y^{n-1} = u+l+2 < x+y+2[/tex3]
[tex3]x^{m-2} \cdot y^{n-2} < \frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{2}{xy} \leq 4[/tex3]
[tex3]x^{m-2} \cdot y^{n-2} \leq 3[/tex3]
O que já restringe bastante se eu estive certo [tex3]x,y\in \{1,2,3\}[/tex3]
Editado pela última vez por Ittalo25 em 06 Jan 2021, 17:55, em um total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Ittalo25
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Jan 2021
06
18:26
Re: Álgebra
Encontrei um negócio que mata a questão para [tex3]m,n,a,b > 0 [/tex3]
https://math.stackexchange.com/question ... -mid-x2y21
Se [tex3]xy | x^2+y^2+1 [/tex3] , então [tex3]x^2+y^2+1 = 3xy [/tex3] . Muito legal isso.
[tex3]a^mb^n = a^2+b^2+2ab+1[/tex3]
[tex3]ab | a^2+b^2+1 [/tex3]
Então [tex3]a^2+b^2+1 = 3ab [/tex3]
Assim:
[tex3]a^mb^n = 5ab[/tex3]
[tex3]a^{m-1}b^{n-1} = 5[/tex3]
[tex3]a,b \in \{1,5\}[/tex3] mas não dão soluções. Então não existe solução para [tex3]m,n,a,b > 0 [/tex3]
https://math.stackexchange.com/question ... -mid-x2y21
Se [tex3]xy | x^2+y^2+1 [/tex3] , então [tex3]x^2+y^2+1 = 3xy [/tex3] . Muito legal isso.
[tex3]a^mb^n = a^2+b^2+2ab+1[/tex3]
[tex3]ab | a^2+b^2+1 [/tex3]
Então [tex3]a^2+b^2+1 = 3ab [/tex3]
Assim:
[tex3]a^mb^n = 5ab[/tex3]
[tex3]a^{m-1}b^{n-1} = 5[/tex3]
[tex3]a,b \in \{1,5\}[/tex3] mas não dão soluções. Então não existe solução para [tex3]m,n,a,b > 0 [/tex3]
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