[tex3]\begin{cases}
\sqrt{x}yz=\frac{8}{3} \\
x\sqrt{y}z=\frac{4\sqrt{2}}{3} \\
xy\sqrt{z}=\frac{16\sqrt{2}}{27}
\end{cases}[/tex3]
tem-se que [tex3]\frac{x+y+z}{xyz}[/tex3]
Resposta
[tex3]\frac{105}{32}[/tex3]
IME / ITA ⇒ (CN - 1990) Álgebra
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juniorcesar
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Mai 2014
24
14:40
(CN - 1990) Álgebra
Resolvendo o sistema
[tex3]\begin{cases}
\sqrt{x}yz=\frac{8}{3} \\
x\sqrt{y}z=\frac{4\sqrt{2}}{3} \\
xy\sqrt{z}=\frac{16\sqrt{2}}{27}
\end{cases}[/tex3]
tem-se que [tex3]\frac{x+y+z}{xyz}[/tex3]
[tex3]\frac{105}{32}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\sqrt{x}yz=\frac{8}{3} \\
x\sqrt{y}z=\frac{4\sqrt{2}}{3} \\
xy\sqrt{z}=\frac{16\sqrt{2}}{27}
\end{cases}[/tex3]
tem-se que [tex3]\frac{x+y+z}{xyz}[/tex3]
[tex3]\frac{105}{32}[/tex3]
Editado pela última vez por juniorcesar em 24 Mai 2014, 14:40, em um total de 2 vezes.
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Marcos
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Mai 2014
24
15:48
Re: (CN - 1990) Álgebra
Olá juniorcesar.Esta questão consta na prova do C.N 1990.Observe a solução:
[tex3]\begin{cases}\sqrt{x}.y.z=\frac{8}{3}\ \ \ \ (i) \\ x.\sqrt{y}.z=\frac{4\sqrt{2}}{3}\ \ \ \ (ii) \\ x.y.\sqrt{z}=\frac{16\sqrt{2}}{27}\ \ \ \ (iii) \end{cases}[/tex3]
Reescrevendo as equações, temos:
[tex3]\begin{cases}\sqrt{x}.y.z=\frac{2^3}{3}\ \ \ \ (i) \\ x.\sqrt{y}.z=\frac{2^2\sqrt{2}}{3}\ \ \ \ (ii) \\ x.y.\sqrt{z}=\frac{2^4\sqrt{2}}{3^3}\ \ \ \ (iii) \end{cases}[/tex3]
que elevada ao quadrado, fica:
[tex3]\begin{cases}x.y^2.z^2=\frac{2^6}{3^2}\ \ \ \ (i) \\ x^2.y.z^2=\frac{2^5}{3^2}\ \ \ \ (ii) \\ x^2.y^2.z=\frac{2^9}{3^6}\ \ \ \ (iii) \end{cases}[/tex3]
e multiplicando-se as equações, vem:
[tex3]x^5.y^5.z^5=\frac{2^{20}}{3^{10}}[/tex3]
[tex3]x.y.z=\frac{2^{4}}{3^{2}}[/tex3]
[tex3]x.y.z=\frac{16}{9}\ \ \ \ (iv)[/tex3]
Fazendo:
[tex3]\frac{iv}{i}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{x\cdot y\cdot z}{\sqrt{x}\cdot y\cdot z}=\frac{16}{9}\cdot \frac{3}{8}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{\sqrt{x}}=\frac{2}{3}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{x^2}{x}=\frac{4}{9}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{x=\frac{4}{9}}[/tex3]
[tex3]\frac{iv}{ii}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{x.y.z}{x.\sqrt{y}.z}=\frac{16}{9}.\frac{3}{4\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]\frac{y}{\sqrt{y}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{y^2}{y}=\frac{16}{18}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{y=\frac{8}{9}}[/tex3]
[tex3]\frac{iv}{iii}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{x.y.z}{x.y.\sqrt{z}}=\frac{16}{9}.\frac{27}{16\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]\frac{z}{\sqrt{z}}=\frac{3}{\sqrt{2}}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{z^2}{z}=\frac{9}{2}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{z=\frac{9}{2}}[/tex3]
então:
[tex3]\frac{x+y+z}{xyz}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{\frac{4}{9}+\frac{8}{9}+\frac{9}{2}}{\frac{4}{9}.\frac{8}{9}.\frac{9}{2}}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{\frac{105}{108}}{\frac{16}{9}}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{105}{18}.\frac{9}{16}[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{\boxed{\frac{105}{32}}}[/tex3]
Resposta: [tex3]\frac{105}{32}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}\sqrt{x}.y.z=\frac{8}{3}\ \ \ \ (i) \\ x.\sqrt{y}.z=\frac{4\sqrt{2}}{3}\ \ \ \ (ii) \\ x.y.\sqrt{z}=\frac{16\sqrt{2}}{27}\ \ \ \ (iii) \end{cases}[/tex3]
Reescrevendo as equações, temos:
[tex3]\begin{cases}\sqrt{x}.y.z=\frac{2^3}{3}\ \ \ \ (i) \\ x.\sqrt{y}.z=\frac{2^2\sqrt{2}}{3}\ \ \ \ (ii) \\ x.y.\sqrt{z}=\frac{2^4\sqrt{2}}{3^3}\ \ \ \ (iii) \end{cases}[/tex3]
que elevada ao quadrado, fica:
[tex3]\begin{cases}x.y^2.z^2=\frac{2^6}{3^2}\ \ \ \ (i) \\ x^2.y.z^2=\frac{2^5}{3^2}\ \ \ \ (ii) \\ x^2.y^2.z=\frac{2^9}{3^6}\ \ \ \ (iii) \end{cases}[/tex3]
e multiplicando-se as equações, vem:
[tex3]x^5.y^5.z^5=\frac{2^{20}}{3^{10}}[/tex3]
[tex3]x.y.z=\frac{2^{4}}{3^{2}}[/tex3]
[tex3]x.y.z=\frac{16}{9}\ \ \ \ (iv)[/tex3]
Fazendo:
[tex3]\frac{iv}{i}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{x\cdot y\cdot z}{\sqrt{x}\cdot y\cdot z}=\frac{16}{9}\cdot \frac{3}{8}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{\sqrt{x}}=\frac{2}{3}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{x^2}{x}=\frac{4}{9}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{x=\frac{4}{9}}[/tex3]
[tex3]\frac{iv}{ii}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{x.y.z}{x.\sqrt{y}.z}=\frac{16}{9}.\frac{3}{4\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]\frac{y}{\sqrt{y}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{y^2}{y}=\frac{16}{18}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{y=\frac{8}{9}}[/tex3]
[tex3]\frac{iv}{iii}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{x.y.z}{x.y.\sqrt{z}}=\frac{16}{9}.\frac{27}{16\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]\frac{z}{\sqrt{z}}=\frac{3}{\sqrt{2}}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{z^2}{z}=\frac{9}{2}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{z=\frac{9}{2}}[/tex3]
então:
[tex3]\frac{x+y+z}{xyz}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{\frac{4}{9}+\frac{8}{9}+\frac{9}{2}}{\frac{4}{9}.\frac{8}{9}.\frac{9}{2}}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{\frac{105}{108}}{\frac{16}{9}}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{105}{18}.\frac{9}{16}[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{\boxed{\frac{105}{32}}}[/tex3]
Resposta: [tex3]\frac{105}{32}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 05 Mai 2024, 23:46, em um total de 3 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
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