Olimpíadas ⇒ Teoria dos números - Equação Tópico resolvido
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Jan 2020
12
03:11
Teoria dos números - Equação
Encontre todos os inteiros [tex3]x,y,z,w[/tex3]
não negativos que são soluções da equação: [tex3]2^x\cdot3^y-5^z\cdot7^w=1[/tex3]
- Cardoso1979
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Jan 2020
19
17:34
Re: Teoria dos números - Equação
Observe
Obs. Antes de resolver esta questão, vou só informar a quem for ler( apreciar ) a resposta, que para compreender terá que ter um conhecimento muito amplo de "congruência módulo m" e de divisibilidade. Na internet existe alguns livros de teoria dos números em PDF que podem ser baixados facilmente, no momento não me recordo de nenhum! Só espero que não me interprete mal.
Modo 1:
Claramente, x ≥ 1. Quando w = 0
[tex3]2^{x}.3^y=1+5^z[/tex3]
Se z = 0 → x = 1 , y = 0 e se z = 1 → x = 1 , y = 1. Se x ≥ 2, tomando ( mod 4 ) nos dar uma contradição!
Se x = 1 , y ≥ 2 :
[tex3]2.3^{y}=1+5^z[/tex3]
Tomando ( mod 9 ) seguido por ( mod 7 ) → sem soluções!
Suponha que w = 1
[tex3]2^x.3^{y}=1+7.5^z[/tex3]
Se z = 0 → x = 3 , y = 0.
Se z = 1 → x = 2 , y = 2.
Seja z ≥ 2 . Se y = 0, [tex3]2^x=1+7.5^z[/tex3]
Tomando ( mod 7 ) e ( mod 5 ) → 12|x . Daí,
[tex3]7.5^z ≡ 0(mod \ 9)[/tex3] , uma contradição! Então , y ≥ 1. Claramente, z deve ser ímpar.
[tex3]2^x.3^y=1+7.5^z[/tex3]
Se y ≥ 2 → [tex3]1+7.5^z ≡ 0(mod \ 9)→z
≡1(mod \ 6)[/tex3] .
Portanto, se x ≥ 3 → [tex3]1+7.5^z ≡ 0(mod \ 8)[/tex3] o que não é possível.
Se y = 1 → [tex3]3.2^x=1+7.5^z[/tex3]
Tomando ( mod 5 ) → x ≡ 1 (mod 4 ) . Portanto , [tex3]2^x≡ 5(mod \ 7 )[/tex3] , uma contradição! Logo, agora podemos assumir w ≥ 2.
[tex3]2^x.3^y=1+5^z.7^w[/tex3]
Para x ≥ 3 , w é ímpar de ( mod 4 ) e [tex3]5^z≡ 1(mod \ 8 )[/tex3] . Como y ≥ 1 → z é ímpar, portanto , 8 não divide [tex3]5^z-1.[/tex3]
Se y = 0 , obtemos uma contradição de 12|x e considerando ( mod 9 ).
Para x = 2,
[tex3]4.3^y=1+5^z.7^w[/tex3]
Tomando ( mod 49 ) → 32|y . Portanto , ( mod 5 ) → ( tudo à esquerda do sinal de igualdade ) é 4( mod 5 ) uma contradição!
Se x = 1,
[tex3]2.3^y=1+5^z.7^w[/tex3]
Então, w é par e z é ímpar. Logo, para y ≥ 2, a tomada ( mod 9 ) dar uma contradição! Claramente, para w ≥ 2 , y ≤ 1 não é possível . Portanto, ficamos com os seguintes casos possíveis: ( x , y , z , w ) = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 0 ) e ( 2 , 2 , 1 , 1 ).
Bons estudos!
Modo 2 ( Teorema de Zsigmondy )
Vamos primeiramente, "esgotar" os casos em que um dos x , y , z , w é zero, temos que:
Quando x = 0 : faça o ( mod 2 ).
Quando y = 0 → [tex3]2^x-1=5^z.7^w[/tex3] . Usando Zsigmondy, verificamos que as únicas soluções são x = 1 e x = 3, ou seja , ( 1 , 0 , 0 , 0 ) e ( 3 , 0 , 0 , 1 ).
Quando z = 0 : ( mod 3 ) fornece y = 0.
Quando w = 0 → [tex3]5^z+1=2^x.3^y[/tex3] . Usando Zsigmondy, temos apenas a solução ( 1 , 1 , 1 , 0 ) ( Obs. o caso z = 0 foi encontrado anteriormente ).
Logo, nesses casos, temos as soluções ( 1 , 0 , 0 , 0 ), ( 3 , 0 , 0 , 1 ) e ( 1 , 1 , 1 , 0 ).
Agora , se x , y , z , w ≥ 1 tomando o ( mod 5 ) fornece [tex3]2^{x-y}≡1(mod \ 5 )→x≡y(mod \ 4).[/tex3] Então,
• Se x , y são ambos ímpares, obtemos:
6K² + 1≡ 0 ( mod 7 ) , o que é impossível.
• Se x , y são ambos pares, obtemos:
[tex3]( K - 1 ).( K + 1 )=5^z.7^w[/tex3] , onde K tem apenas 2's e 3's. Ou [tex3]K=5^z+1=7^w-1[/tex3] ou [tex3]K=7^w+1=5^z-1[/tex3] , e novamente via Zsigmondy, encontramos a solução única que é ( 2 , 2 , 1 , 1 ).
Portanto, ( x , y , z , w ) = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 0 ) e ( 2 , 2 , 1 , 1 ).
Nota
Confesso que uma questão extremamente difícil, difícil até mesmo para explicar! Uma outra maneira seria usando a " Conjectura de Catalan". Ficará como exercício para você pesquisar sobre o Teorema de Zsigmondy
Bons estudos!
Obs. Antes de resolver esta questão, vou só informar a quem for ler( apreciar ) a resposta, que para compreender terá que ter um conhecimento muito amplo de "congruência módulo m" e de divisibilidade. Na internet existe alguns livros de teoria dos números em PDF que podem ser baixados facilmente, no momento não me recordo de nenhum! Só espero que não me interprete mal.
Modo 1:
Claramente, x ≥ 1. Quando w = 0
[tex3]2^{x}.3^y=1+5^z[/tex3]
Se z = 0 → x = 1 , y = 0 e se z = 1 → x = 1 , y = 1. Se x ≥ 2, tomando ( mod 4 ) nos dar uma contradição!
Se x = 1 , y ≥ 2 :
[tex3]2.3^{y}=1+5^z[/tex3]
Tomando ( mod 9 ) seguido por ( mod 7 ) → sem soluções!
Suponha que w = 1
[tex3]2^x.3^{y}=1+7.5^z[/tex3]
Se z = 0 → x = 3 , y = 0.
Se z = 1 → x = 2 , y = 2.
Seja z ≥ 2 . Se y = 0, [tex3]2^x=1+7.5^z[/tex3]
Tomando ( mod 7 ) e ( mod 5 ) → 12|x . Daí,
[tex3]7.5^z ≡ 0(mod \ 9)[/tex3] , uma contradição! Então , y ≥ 1. Claramente, z deve ser ímpar.
[tex3]2^x.3^y=1+7.5^z[/tex3]
Se y ≥ 2 → [tex3]1+7.5^z ≡ 0(mod \ 9)→z
≡1(mod \ 6)[/tex3] .
Portanto, se x ≥ 3 → [tex3]1+7.5^z ≡ 0(mod \ 8)[/tex3] o que não é possível.
Se y = 1 → [tex3]3.2^x=1+7.5^z[/tex3]
Tomando ( mod 5 ) → x ≡ 1 (mod 4 ) . Portanto , [tex3]2^x≡ 5(mod \ 7 )[/tex3] , uma contradição! Logo, agora podemos assumir w ≥ 2.
[tex3]2^x.3^y=1+5^z.7^w[/tex3]
Para x ≥ 3 , w é ímpar de ( mod 4 ) e [tex3]5^z≡ 1(mod \ 8 )[/tex3] . Como y ≥ 1 → z é ímpar, portanto , 8 não divide [tex3]5^z-1.[/tex3]
Se y = 0 , obtemos uma contradição de 12|x e considerando ( mod 9 ).
Para x = 2,
[tex3]4.3^y=1+5^z.7^w[/tex3]
Tomando ( mod 49 ) → 32|y . Portanto , ( mod 5 ) → ( tudo à esquerda do sinal de igualdade ) é 4( mod 5 ) uma contradição!
Se x = 1,
[tex3]2.3^y=1+5^z.7^w[/tex3]
Então, w é par e z é ímpar. Logo, para y ≥ 2, a tomada ( mod 9 ) dar uma contradição! Claramente, para w ≥ 2 , y ≤ 1 não é possível . Portanto, ficamos com os seguintes casos possíveis: ( x , y , z , w ) = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 0 ) e ( 2 , 2 , 1 , 1 ).
Bons estudos!
Modo 2 ( Teorema de Zsigmondy )
Vamos primeiramente, "esgotar" os casos em que um dos x , y , z , w é zero, temos que:
Quando x = 0 : faça o ( mod 2 ).
Quando y = 0 → [tex3]2^x-1=5^z.7^w[/tex3] . Usando Zsigmondy, verificamos que as únicas soluções são x = 1 e x = 3, ou seja , ( 1 , 0 , 0 , 0 ) e ( 3 , 0 , 0 , 1 ).
Quando z = 0 : ( mod 3 ) fornece y = 0.
Quando w = 0 → [tex3]5^z+1=2^x.3^y[/tex3] . Usando Zsigmondy, temos apenas a solução ( 1 , 1 , 1 , 0 ) ( Obs. o caso z = 0 foi encontrado anteriormente ).
Logo, nesses casos, temos as soluções ( 1 , 0 , 0 , 0 ), ( 3 , 0 , 0 , 1 ) e ( 1 , 1 , 1 , 0 ).
Agora , se x , y , z , w ≥ 1 tomando o ( mod 5 ) fornece [tex3]2^{x-y}≡1(mod \ 5 )→x≡y(mod \ 4).[/tex3] Então,
• Se x , y são ambos ímpares, obtemos:
6K² + 1≡ 0 ( mod 7 ) , o que é impossível.
• Se x , y são ambos pares, obtemos:
[tex3]( K - 1 ).( K + 1 )=5^z.7^w[/tex3] , onde K tem apenas 2's e 3's. Ou [tex3]K=5^z+1=7^w-1[/tex3] ou [tex3]K=7^w+1=5^z-1[/tex3] , e novamente via Zsigmondy, encontramos a solução única que é ( 2 , 2 , 1 , 1 ).
Portanto, ( x , y , z , w ) = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 0 ) e ( 2 , 2 , 1 , 1 ).
Nota
Confesso que uma questão extremamente difícil, difícil até mesmo para explicar! Uma outra maneira seria usando a " Conjectura de Catalan". Ficará como exercício para você pesquisar sobre o Teorema de Zsigmondy
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Jan 2020
20
12:54
Re: Teoria dos números - Equação
Muitíssimo obgda Cardoso1979!
Cardoso1979 escreveu: ↑19 Jan 2020, 17:34 Ficará como exercício para você pesquisar sobre o Teorema de Zsigmondy
- Cardoso1979
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Jan 2020
20
14:52
Re: Teoria dos números - Equação
DisponhaBabi123 escreveu: ↑20 Jan 2020, 12:54 Muitíssimo obgda Cardoso1979!Cardoso1979 escreveu: ↑19 Jan 2020, 17:34 Ficará como exercício para você pesquisar sobre o Teorema de Zsigmondy
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