Olimpíadas

Mensagem não lidapor **quevedo** » 03 Jun 2018, 23:10 · Mensagem não lida por **quevedo** » 03 Jun 2018, 23:10

A soma dos 4 menores fatores primos distintos do número 15^15^15 + 15 é igual a:
a) 33
b) 39
c) 27
d) 29
e) 41

Resposta

b

Pelo problema fatorando ficaríamos: 15x(15^(15-1) + 1)
Daí teríamos que os fatores primos são 2, 3, 5 => 2 pq a soma de dois ímpares é par. O problema é achar o 4 número.
Claro que pela resposta dá pra saber que é 29, mas como chegar a esse resultado?

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 03 Jun 2018, 23:42 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 03 Jun 2018, 23:42

Olá quevedo,

DICA:
Você lista os outros primos: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...
EDIT
Realmente, passei digitando sem pensar ...

Abraço !

Mensagem não lidapor **quevedo** » 04 Jun 2018, 17:32 · Mensagem não lida por **quevedo** » 04 Jun 2018, 17:32

Desculpe amigo mas não entendi pq 15 = -1 (mod 29) ?
Pois assim 15 + 15 = -2 (mod 29), mas 30 = 1 (mod 29)

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 10 Abr 2021, 02:27 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 10 Abr 2021, 02:27

[tex3]15^{15^{15}}+15=15\cdot (15^{15^{15}-1}+1)[/tex3]

Supondo um primo p maior que 5, devemos ter:
[tex3]15^{15^{15}-1}\equiv -1 \mod(p)[/tex3]
[tex3]15^{2\cdot 15^{15}-2}\equiv 1 \mod(p)[/tex3]
Como mdc(15,p) = 1, pelo pequeno teorema de Fermat devemos ter:
[tex3]p-1|2\cdot (15^{15}-1) [/tex3]
[tex3]p-1|2\cdot (15^{5}-1)\cdot (15^{10}+15^5+1) [/tex3]
[tex3]p-1|2\cdot (15-1)\cdot (15^4+15^3+15^2+15+1)\cdot (15^{10}+15^5+1) [/tex3]
[tex3]p-1|28\cdot (15^4+15^3+15^2+15+1)\cdot (15^{10}+15^5+1) [/tex3]
Isso mostra que [tex3]p-1=28\rightarrow \boxed{p=29} [/tex3] funciona.

Isso é bom porque limita por cima, agora só precisamos testar se algum dos primos 7, 11, 13, 17, 19, 23 funciona. Aí deixo com você.

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