IME / ITA ⇒ Simulado IME. Tópico resolvido

[Marcos]

Na figura abaixo,[tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

é um quadrilátero onde [tex3]\bar{AD} = \bar{BC}[/tex3]

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[tex3]\bar{AD} = \bar{BC}[/tex3]

,[tex3]\widehat{DAB} = 80^o[/tex3]

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[tex3]\widehat{DAB} = 80^o[/tex3]

e [tex3]\widehat{CBA} = 40^o[/tex3]

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[tex3]\widehat{CBA} = 40^o[/tex3]

.Um ponto [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

é tal que o triângulo [tex3]DPC[/tex3]

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[tex3]DPC[/tex3]

é equilátero.Qual o perímetro do triângulo [tex3]APB[/tex3]

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[tex3]APB[/tex3]

sabendo que [tex3]\bar{AB} = 6 cm[/tex3]

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[tex3]\bar{AB} = 6 cm[/tex3]

e [tex3]\bar{CD} = 3 cm[/tex3]

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[tex3]\bar{CD} = 3 cm[/tex3]

.

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[lftm]

Chame o ângulo PCB = x.

BCD + DCP + PCB = 360º => BCD = 300º - x

ABC + BCD + CDA + DAB = 360º => CDA = x - 60º => PDA = x

Temos PD = PC , DA = CB and PCB = PDA . Logo, os triângulos PDA e PBC são conguentes. Daí concluímos que PA = PB , sendo PAB isósceles e, portanto, ângulo PAB = ângulo PBA. Assim,

DAB - DAP = CBA + CBP e, como CBP=DAP=y => 80º - y = 40º + y => y = 20º e DAP=CBP=60º. Logo, o triângulo PAB não é apenas isósceles, mas também equilátero, sendo todos os seus lados iguais a 6. Seu perímetro mede, então 18.