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Aviso Global l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Última mensagem por leozitz « 03 Nov 2022, 11:16
Enviado em Maratonas de Matemática
Respostas: 82
por Ittalo25 » 24 Set 2020, 23:03 » em Maratonas de Matemática

Primeira Postagem

Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...

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Solução do problema 81

sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)

a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...

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Última mensagem por leozitz
03 Nov 2022, 11:16
Aviso Global ENEM 2017 Matemática Resolvida

Última mensagem por Jigsaw « 17 Nov 2018, 22:42
Enviado em TutorBrasil no YouTube
Respostas: 7
por caju » 17 Mai 2018, 10:20 » em TutorBrasil no YouTube

Primeira Postagem

Olá a todos :)

Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .

Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...

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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...

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Última mensagem por Jigsaw
17 Nov 2018, 22:42

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Demonstração teorema de Reim

Última mensagem por FelipeMartin « 01 Set 2020, 11:28

por FelipeMartin » 01 Set 2020, 11:28

O teorema de Reim é um teorema muito simples, mas muito conveniente e geral que frequentemente é utilizado na resolução de problemas. Seu enunciado é o seguinte:

Deixe dois círculos c_1 e c_2 se...

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1621 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
01 Set 2020, 11:28
Demonstração - Paralela as bases que divide trapézio em dois trapézios de mesma área(Geometria Plana)

Última mensagem por Deleted User 24633 « 10 Ago 2020, 17:50
Respostas: 1
por Deleted User 24758 » 27 Jul 2020, 21:32

Primeira Postagem

Provar que a reta paralela as bases de um trapézio que o divide em outros dois trapézios de mesma área vale, em função das bases:

c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

Observe que:...

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Olá KashinKoje . Outra demonstração seria a seguinte:

Na figura P=AD \cap BC . Denote por T= e A= = . É imediato que \triangle APB \sim \triangle MPN cuja razão de semelhança é \dfrac{a}{c}. Assim...

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2307 Exibições

Última mensagem por Deleted User 24633
10 Ago 2020, 17:50
Construir um terceiro círculo tangente a outros dois também tangentes entre si e todos tangentes a uma reta

Última mensagem por FelipeMartin « 09 Ago 2020, 10:59

por FelipeMartin » 09 Ago 2020, 10:59

Vou demonstrar uma maneira simples de construir (com régua e compasso) um terceiro círculo \gamma tangente exteriormente a outros dois dados ( \gamma_1, \gamma_2 , também tangentes exteriormente) de...

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1897 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
09 Ago 2020, 10:59
Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)

Última mensagem por Deleted User 24633 « 08 Ago 2020, 22:14
Respostas: 3
por italoemanuell » 28 Jun 2007, 10:36

Primeira Postagem

A partir de hoje estarei aqui postando teoremas geométricos, pouco vistos em livros comuns, e que costumam cai no ime pedindo para provar alguma colinearidade entre pontos!!

Teorema de Menelaus...

Última mensagem

Olá gente! Recentemente, um problema me induziu a uma demonstração do teorema de Menelaus que até então eu não tinha visto... e resolvi compartilhar.
Eu sei que muito provavelmente esta demonstração...

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Última mensagem por Deleted User 24633
08 Ago 2020, 22:14
Demonstração - Teorema de Girard

Última mensagem por Jvrextrue13 « 31 Jul 2020, 16:26
Respostas: 2
por Jvrextrue13 » 31 Jul 2020, 16:09

Primeira Postagem

Teorema de Girard

Seja S_k=x_1^k+x_2^k+x_3^k+...+x_n^k as Somas de Newton quando x_1,x_2,x_3,...,x_n são as raízes de um polinômio P(x) temos que ao dividir a derivada desse polinômio pelo...

Última mensagem

Eu tava estudando e me deparei com esse teorema, ai quis compartilhar. No caso ele diz que podemos obter as somas de newton dividindo a derivada de um polinômio pelo polinomio original usando o...

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Última mensagem por Jvrextrue13
31 Jul 2020, 16:26
Demonstração - Soma de Senos/Cossenos de arcos em P.A

Última mensagem por Jvrextrue13 « 27 Jul 2020, 16:23

por Jvrextrue13 » 27 Jul 2020, 16:23

O objetivo dessa demonstração é encontrar uma expressão que facilite o cálculo das duas somas telescópicas a seguir:...

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2548 Exibições

Última mensagem por Jvrextrue13
27 Jul 2020, 16:23
Demonstração - Teorema de Arquimedes(Geometria Plana)

Última mensagem por Deleted User 24758 « 26 Jul 2020, 15:14

por Deleted User 24758 » 26 Jul 2020, 15:14

Provar que em qualquer quadrilátero que possui diagonais perpendiculares entre si, vale a relação:

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ\boxed{\boxed{\boxed{a^2+c^2=b^2+d^2}}}

Sendo:
\overline{AB}=a...

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1888 Exibições

Última mensagem por Deleted User 24758
26 Jul 2020, 15:14
Demonstração — Ceva Trigonométrico

Última mensagem por FelipeMartin « 22 Jul 2020, 15:22
Respostas: 1
por Tassandro » 22 Jul 2020, 12:32

Primeira Postagem

Considere um triângulo e um ponto no seu interior. Ligando os vértices desse triângulo a esse ponto, obtemos 6 ângulos, os quais vamos denominar α_1,α_2,α_3,α_4,α_5,α_6 . Nós queremos demonstrar que...

Última mensagem

esse teorema é bom pra mostrar a existência dos conjugados isogonais e isso permite demonstrar facilmente o Teorema de Pascal na circunferência.

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2207 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
22 Jul 2020, 15:22
Demonstração — Desigualdade de Euler (geometria plana)

Última mensagem por FelipeMartin « 22 Jul 2020, 14:47
Respostas: 1
por Tassandro » 22 Jul 2020, 12:58

Primeira Postagem

Sejam R o circunraio e r o inraio de um triângulo qualquer. Prove que R\geq 2r .
Prova:
Vamos usar os seguintes fatos, que devem ser previamente conhecidos pelo leitor:
Se A,B,C são vértices de um...

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realmente por desigualdade fica bem mais enxuto do que pela distância entre pontos notáveis

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1557 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
22 Jul 2020, 14:47
Demonstração Operador-Diferença

Última mensagem por AnthonyC « 20 Jul 2020, 00:17
Respostas: 1
por AnthonyC » 19 Jul 2020, 22:35

Primeira Postagem

Um conceito bem útil em questões de somatórios é o conceito de Operador Diferença , definido como:
\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)

A vantagem de saber esse conceito é quando estamos calculando...

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Encontrar \Delta f(x) exige treino e conhecimento sobre funções, mas é um método bem poderoso. Vamos usar essa ferramenta pra encontrar as seguintes somas:

Obs: eu não sei se esse teorema...

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1498 Exibições

Última mensagem por AnthonyC
20 Jul 2020, 00:17
(Demonstração) Teorema de Angela Drei e suas consequências

Última mensagem por jvmago « 21 Jun 2020, 15:32
Respostas: 1
por jvmago » 18 Jun 2020, 22:34

Primeira Postagem

Retorno para mais uma daquelas demonstrações loucas!!! Essa eu estava devendo de ontem para o problema ser resolvido e me recordo de ao menos dois onde este conceito pode ser utilizado para facilitar...

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Se possível, algum moderador poderia enviar para a área de demosntrações? grato :D

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1753 Exibições

Última mensagem por jvmago
21 Jun 2020, 15:32
(Demonstração) Teorema de Japones (Mykami kayashi)

Última mensagem por Deleted User 23699 « 09 Jun 2020, 13:59
Respostas: 1
por jvmago » 23 Mai 2020, 09:44

Primeira Postagem

Hipótese
r_1+r_3=r_2+r_4

Façamos para os triângulos ABC e ACD

Traçamos as perpendiculares OM=a,ON=b,OP=c,OR=e, OQ=d e OL=f aos lados AB,BC,AC,DC,AD e BD respectivamente temos:

Pelo TEOREMA de...

Última mensagem

jvmago

Tenho a impressão que o desenho não está batendo com o teorema... algumas coisas trocaram de nome.
Deveria ser r1 + r2 = r3 + r4

Segue a generalização

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1576 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
09 Jun 2020, 13:59
(Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Baricentro

Última mensagem por jvmago « 06 Jun 2020, 14:35

por jvmago » 06 Jun 2020, 14:35

Esboçe um \Delta ABC qualquer tal que R,r são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivamente, O o circuncentro, AB=c,AC=b,BC=a e G o baricentro PARTIU!!

Pede-se OG=x

Prolongue...

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1631 Exibições

Última mensagem por jvmago
06 Jun 2020, 14:35
Demonstração - Propriedade do Triângulo de Pascal (Teorema das Colunas)

Última mensagem por Tassandro « 06 Jun 2020, 10:05

por Tassandro » 06 Jun 2020, 10:05

Teorema das Colunas:
Prove que
\binom{n}{n}+\binom{n+1}{n}+...+\binom{n+k}{n}=\binom{n+k+1}{n+1}\tag*{}
Podemos mostrar esse teorema de diferentes formas. Hoje vou fazer uma demostração que usa...

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1631 Exibições

Última mensagem por Tassandro
06 Jun 2020, 10:05
(Demonstração) Metrica no triângulo retângulo e suas flechas

Última mensagem por Tassandro « 23 Mai 2020, 10:34
Respostas: 5
por jvmago » 23 Mai 2020, 09:12

Primeira Postagem

Tese
r=\sqrt{2ab}

Sabemos que OM=ON= R então PO=R-a e OQ=R-b

Por congruência dos triângulos OPC e OBQ temos OP=BQ e PC=OQ

aplicando Pitágoras

R²=(R-a)^2+(R-b)^2

Pelo teorema de Steiner...

Última mensagem

Muito bom! Eu confudi na munha resposta ao desafio, era para ser
A=2(R-a)(R-b)=2(a+\sqrt{2ab})(b+\sqrt{2ab})

5 Respostas

2147 Exibições

Última mensagem por Tassandro
23 Mai 2020, 10:34
Demonstração do Teorema de PTOLOMEU

Última mensagem por jvmago « 23 Mai 2020, 09:21
Respostas: 1
por MatheusBorges » 02 Jan 2018, 15:10

Primeira Postagem

Teorema de Ptolomeu:
Em um quadrilátero convexo inscritível, a soma dos produtos dos comprimentos dos lados opostos é igual ao produtos dos
comprimentos das diagonais
Hipótese o quadrilátero...

Última mensagem

Senhores moderadores, incluam esse tópicos mas demonstrações!!! Quase fiz de novo :lol: :lol:

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3770 Exibições

Última mensagem por jvmago
23 Mai 2020, 09:21
(Demonstração) Teorema de Steiner e suas consequências

Última mensagem por jvmago « 23 Mai 2020, 08:42

por jvmago » 23 Mai 2020, 08:42

TESES
r_a+r_b+r_c=4R+r
f_a+f_b+f_c=R-r
OX+OY+OZ=R+r (distância do circuncentro aos lados)

Essa demonstração precisa de uma teorema prévio:

Seja ABCD um trapézio tal que AB=a e CD=b
ENTÃO a...

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1480 Exibições

Última mensagem por jvmago
23 Mai 2020, 08:42
(Demonstração) Teorema de Junkof

Última mensagem por jvmago « 23 Mai 2020, 08:12

por jvmago » 23 Mai 2020, 08:12

Como prometido, vou fazer uma nova série de tópicos sobre assuntos de geometria e afim de facilitar a vida daqueles que frequentemente enfrentam problemas difíceis ou para os mestres que desejam...

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1095 Exibições

Última mensagem por jvmago
23 Mai 2020, 08:12
(Demonstração) Método de Viète -- Raízes de uma função polinomial do segundo grau

Última mensagem por CarlosBruno « 12 Mai 2020, 15:26

por CarlosBruno » 12 Mai 2020, 15:26

Considere uma função polinomial do segundo grau f(x)=ax^2+bx+c onde a,b \;e\; c \in \mathbb{C} e a\neq 0

Desta forma para encontrar suas raízes devemos encontrar os possíveis valores de x tais que...

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1361 Exibições

Última mensagem por CarlosBruno
12 Mai 2020, 15:26
Demonstração - Bissetriz e mediatriz como lugares geométricos

Última mensagem por Auto Excluído (ID:24303) « 13 Abr 2020, 20:58

por Auto Excluído (ID:24303) » 13 Abr 2020, 20:58

Vou demonstrar através de noções básicas de geometria (sem usar lei dos senos, cossenos ou geometria analítica) as propriedades mais importantes a respeito dos dois lugares geométricos citados. Sem...

0 Respostas

1906 Exibições

Última mensagem por Auto Excluído (ID:24303)
13 Abr 2020, 20:58
Equação funcional de Cauchy - Soma

Última mensagem por Auto Excluído (ID:24303) « 12 Abr 2020, 16:12
Respostas: 2
por Auto Excluído (ID:12031) » 28 Abr 2019, 03:24

Primeira Postagem

Encontrar todas as funções f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb R tais que f(x+y) = f(x) + f(y), \forall x, y \in \mathbb Q .

Solução

prova-se por indução que f(\sum_{i=1}^n x_i) = \sum_{i=1}^n f(x_i)...

Última mensagem

Errata:
Encontrar todas as funções f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb R tais que f(x+y) = f(x) + f(y), \forall x, y \in \mathbb Q .

Solução

prova-se por indução que f(\sum_{i=1}^n x_i) =...

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2212 Exibições

Última mensagem por Auto Excluído (ID:24303)
12 Abr 2020, 16:12
Demonstração - Propriedades elementares do Triângulo Órtico

Última mensagem por Auto Excluído (ID:24303) « 12 Abr 2020, 07:58

por Auto Excluído (ID:24303) » 12 Abr 2020, 07:58

Dado um triângulo \triangle ABC toma-se os pés das alturas de cada vértice em relação ao seu lado oposto.
Chamemos de H_A o pé da altura do vértice A em relação ao lado BC .
Analogamente se definem...

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2518 Exibições

Última mensagem por Auto Excluído (ID:24303)
12 Abr 2020, 07:58
Demonstração - Raízes de Uma Equação Quadrática

Última mensagem por MateusQqMD « 11 Abr 2020, 19:07
Respostas: 1
por emanuel9393 » 18 Dez 2012, 22:16

Primeira Postagem

Demonstrar que a raízes de um polinômio do segundo grau ax^{2} \, + \, bx \, + \, c \, = \, 0 , sendo a \, \neq \, 0, b, c \,\,\, \in \,\,\,\, \mathbb{R} os coeficientes do polinômio, são dadas pela...

Última mensagem

Irei complementar o tópico do colega emanuel9393 .

Proposição: Se \Delta \geq 0, então a soma S e o produto P das raízes da equação ax^{2} + bx + c = 0 são dados por S = - \frac{b}{a} e P =...

1 Respostas

1994 Exibições

Última mensagem por MateusQqMD
11 Abr 2020, 19:07
(Demonstração) Lei dos Cossenos

Última mensagem por MateusQqMD « 09 Abr 2020, 15:33
Respostas: 2
por CarlosBruno » 16 Mar 2020, 23:53

Primeira Postagem

Irei trazer umas demonstrações fundamentais para poder depois ir desenvolvendo outras.

Considere
\overline{AH}=m \quad \quad\overline{HB}=c-m \quad e \quad \angle CAH = \alpha\\ \text{Pitágoras...

Última mensagem

Outra demonstração (por potência de ponto):

2 Respostas

1860 Exibições

Última mensagem por MateusQqMD
09 Abr 2020, 15:33
Demonstração mmc(a,b). mdc(a,b) = ab

Última mensagem por goncalves3718 « 05 Abr 2020, 00:09

por goncalves3718 » 05 Abr 2020, 00:09

Antes de demonstrarmos temos que ter em mente dois lemas.
Lema 1:

Sejam a e b dois naturais não nulos e d= mdc(a,b) .
Podemos escrever a e b da seguinte maneira:

a=dk_1
b= dk_2

Iremos provar...

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2295 Exibições

Última mensagem por goncalves3718
05 Abr 2020, 00:09
Demonstração - Calculando [tex3]\int_0 ^x \sen t ~ dt[/tex3] com um pêndulo

Última mensagem por Planck « 20 Mar 2020, 15:35

por Planck » 20 Mar 2020, 15:35

Primeiro, devemos recordar que o trabalho de uma força aplicada ao longo de um caminho c pode ser calculado por uma integral de linha:

\text W_c = \int_c \text F \cdot d \text r \,\, \Rightarrow...

0 Respostas

1286 Exibições

Última mensagem por Planck
20 Mar 2020, 15:35
(Demonstração) Teorema da Bissetriz Interna

Última mensagem por CarlosBruno « 17 Mar 2020, 16:32

por CarlosBruno » 17 Mar 2020, 16:32

\text{Considere: }\overline{BL}=m \quad \overline{LC}=n \quad \overline{AB}=c \quad \overline{AC}=b \quad \angle ALB=\beta \quad \text{ e } \quad \angle BAL=\angle LAC=\alpha\\ \text{Aplicando lei...

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1543 Exibições

Última mensagem por CarlosBruno
17 Mar 2020, 16:32
(Demonstração) Proporções Notaveis no Triângulo Retangulo

Última mensagem por jvmago « 02 Jan 2020, 10:59
Respostas: 1
por jvmago » 27 Nov 2019, 21:37

Primeira Postagem

Chegamos a um daqueles tópicos que eu falo muito sobre esse assunto que tanto amamos, a NOSSA GEOMETRIA! Como em todas as demonstrações, deixo meus agradecimentos ao mestre CAJU pelo fórum e peço que...

Última mensagem

Algum moderador poderia encarecidamente colocar o tópico na área de demonstrações? Oi complicado achar ele aqui! Grato

1 Respostas

2406 Exibições

Última mensagem por jvmago
02 Jan 2020, 10:59
Demonstração - Primeiro Lema de Kaplansky

Última mensagem por csmarcelo « 12 Set 2019, 09:55
Respostas: 3
por MateusQqMD » 07 Set 2019, 21:51

Primeira Postagem

O objetivo do tópico é fornecer uma redação que possa ajudar em alguns problemas de contagem que exigem que determinadas escolhas sejam feitas de maneira que não haja elementos consecutivos.

De...

Última mensagem

Feito, MateusQqMD .

3 Respostas

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Última mensagem por csmarcelo
12 Set 2019, 09:55
Demonstração - Número de Soluções Inteiras e Não Negativas de Uma Equação

Última mensagem por csmarcelo « 02 Set 2019, 09:42
Respostas: 2
por MateusQqMD » 04 Mai 2019, 16:49

Primeira Postagem

Durante o desenvolvimento de alguns problemas que comumente aparecem no fórum é exigido que sejam contadas as soluções inteiras e não negativas de uma equação linear. Por isso, resolvi deixar uma...

Última mensagem

Aqui eu demonstrei o número de soluções inteiras e positivas de uma equação linear.

2 Respostas

4422 Exibições

Última mensagem por csmarcelo
02 Set 2019, 09:42

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