jvgremaschi, fique atento às regras
1. e
2. do fórum. Não é permitido postar questões em forma de imagem e/ou em forma de link externo. Eu editei para você e deixei o seu tópico no formato correto.
Enfim, vamos à questão:
Primeiramente, escolheremos uma integração que seja facilitada pela geometria do problema. Podemos usar as seções triangulares paralelas ao plano [tex3]\mathsf{yz}[/tex3]
como bases para sólidos de altura infinitesimal [tex3]\mathsf{dx}[/tex3]
. Ou seja, vamos integrar a região por "fatias" da seguinte forma:
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Perceba que o lado dos triângulos equiláteros de cada fatia considerada é [tex3]\mathsf{l \ = \ y \ = \ r \cdot \sin(\theta)}[/tex3]
. Sabendo que [tex3]\mathsf{x \ = \ r \cdot \cos(\theta)}[/tex3]
, deixando em função de [tex3]\mathsf{r}[/tex3]
e [tex3]\theta[/tex3]
:
[tex3]\mathsf{\dfrac{dx}{d\theta} \ = \ -r\cdot \sin(\theta)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{dx \ = \ -r \cdot \sin(\theta) \ d\theta}[/tex3]
O volume infinitesimal de cada fatia é:
[tex3]\mathsf{dV \ = \ A_\triangle \ dx}[/tex3]
[tex3]\mathsf{dV \ = \ \dfrac{\sqrt{3} \cdot \overbrace{y^2}^{(r \cdot \sin(\theta))^2}}{4} \ \underbrace{dx}_{-r \cdot \sin(\theta) \ d\theta}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{dV \ = \ - \ \dfrac{\sqrt{3} \cdot r^3 \cdot \sin^3(\theta) \ d\theta}{4}}[/tex3]
Como integraremos já desde a borda da semicircunferência, temos [tex3]\mathsf{r \ = \ 4}[/tex3]
(fixado), para que assim tenhamos as bases completas. Então:
[tex3]\mathsf{dV \ = \ - \ \dfrac{\sqrt{3} \cdot 4^3 \cdot \sin^3(\theta) \ d\theta}{4}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{dV \ = \ - \ 16 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin^3(\theta) \ d\theta}[/tex3]
Para que tenhamos o processo iterativo concordante com o crescimento de [tex3]\mathsf{dx}[/tex3]
, vamos integrar do menor valor de [tex3]\mathsf{x}[/tex3]
ao maior valor de [tex3]\mathsf{x}[/tex3]
. Então, integrando em [tex3]\mathsf{\pi \ \leq \ \theta \ \leq \ 0:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{V \ = \ - \ 16 \cdot \sqrt{3} \cdot \int_{\pi}^{0} \sin^3(\theta) \ d\theta}[/tex3]
Essa integral pode ser feita por partes, e temos que [tex3]\mathsf{\int_{\pi}^{0} \sin^3(\theta) \ d\theta \ = \ -\dfrac{4}{3}}[/tex3]
. Logo:
[tex3]\mathsf{V \ = \ - \ 16 \cdot \sqrt{3} \cdot -\dfrac{4}{3}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{V \ \approx \ 36,95 \ u. V.}}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
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