Ensino Médio ⇒ Dúvida teórica: Racionalização de denominadores Tópico resolvido

[inguz]

Oie, galerinha! Alguém poderia me explicar a lógica do sinal do fator racionalizante nesses dois exemplos ??? Obrigada desde já!

[NathaliaBr]

Oi!
Quando queremos racionalizar os denominadores de uma fração, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração pela própria raiz que está no denominador. Confuso? Veja o exemplo:

[tex3]\frac{2}{\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{\sqrt{2}}[/tex3]

Vamos racionalizar o denominador, isso é, eliminar a raiz. Como?
Multiplicando o numerador e o denominador da fração pela própria raiz que está no denominador.

[tex3]\frac{2}{\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{\sqrt{2}}[/tex3]

x [tex3]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4}}[/tex3]

Simplificando, fica:
= [tex3]\frac{2\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{2\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Certo. Agora vamos ao seus exemplos!
Ex. 1

[tex3]\frac{2}{\sqrt{5}+1}[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{\sqrt{5}+1}[/tex3]

Sempre que houver uma soma ou subtração com a raiz que está no denominador, ao fazer a multiplicação, trocamos o sinal.
[tex3]\frac{2}{\sqrt{5}+1} = \frac{2}{\sqrt{5}+1}[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{\sqrt{5}+1} = \frac{2}{\sqrt{5}+1}[/tex3]

x [tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}[/tex3]

Perceba que, agora, nos denominadores, temos o produto da soma pela diferença entre dois termos.
O resultado do produto da soma pela diferença é o quadrado da diferença de cada um dos termos.

[tex3]\frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^2- (1)^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^2- (1)^2}[/tex3]

= [tex3]\frac{2(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{2(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{4}[/tex3]

Simplificando o 2 com o 4:

[tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex3]

O sinal do 1, na sua resposta, deveria ser - 1, mas você colocou +1
Prontinho, é só seguir o mesmíssimo raciocínio para o ex. 2.

[NathaliaBr]

Aliás, este vídeo do prof. Caju explica bem bonitinho sobre a racionalização de denominadores quando há uma soma no denominador.
https://www.youtube.com/watch?v=bOQfur1XWS0
ps: a partir do minuto 6:30.

Bons estudos! Qualquer coisa é só falar

[inguz]

Mt obrigada pela resolução!!! E desculpa pela demora !