Olimpíadas ⇒ Polinômios

[goncalves3718]

Determine [tex3]A(x) ∈ Q[x][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A(x) ∈ Q[x][/tex3]

tal que [tex3]A(x)(x^2 + 5) ≡ 1 (\, \mod \, x^5 + x + 1)[/tex3]

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[tex3]A(x)(x^2 + 5) ≡ 1 (\, \mod \, x^5 + x + 1)[/tex3]

[goncalves3718]

Ajudem por favor e tentem ser o mais detalhado possível!
Muito obrigado

[leozitz]

[tex3]A(x)(x^2 + 5) ≡ 1 (\, \mod \, x^5 + x + 1)\iff \exists\ B(x)\in \mathbb{Q}[x][/tex3]

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[tex3]A(x)(x^2 + 5) ≡ 1 (\, \mod \, x^5 + x + 1)\iff \exists\ B(x)\in \mathbb{Q}[x][/tex3]

tal que
[tex3](x^5 + x + 1)B(x) = A(x)(x^2+5) - 1[/tex3]

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[tex3](x^5 + x + 1)B(x) = A(x)(x^2+5) - 1[/tex3]

[tex3]x^5 + x + 1 = (x^2 + 5)Q(x) + R(x)[/tex3]

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[tex3]x^5 + x + 1 = (x^2 + 5)Q(x) + R(x)[/tex3]

agora podemos usar o algoritmo de divisão de polinômios para encontrar Q e R.
vamos encontrar que [tex3]x^5 + x + 1 = (x^2+5)(x^3-5x) + 26x + 1[/tex3]

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[tex3]x^5 + x + 1 = (x^2+5)(x^3-5x) + 26x + 1[/tex3]

[tex3]x^2 + 5 = (26x + 1)P(x) + G(x)[/tex3]

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[tex3]x^2 + 5 = (26x + 1)P(x) + G(x)[/tex3]

[tex3]x^2 + 5 = (26x+1)\left(\frac{x}{26} - \frac{1}{26^2}\right) + 5 + \frac{1}{26^2}[/tex3]

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[tex3]x^2 + 5 = (26x+1)\left(\frac{x}{26} - \frac{1}{26^2}\right) + 5 + \frac{1}{26^2}[/tex3]

[tex3]x^5 + x + 1 = (x^2+5)(x^3-5x) + \frac{(x^2 + 5 - 5 - \frac{1}{26^2})}{\frac{x}{26} - \frac{1}{26^2}}[/tex3]

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[tex3]x^5 + x + 1 = (x^2+5)(x^3-5x) + \frac{(x^2 + 5 - 5 - \frac{1}{26^2})}{\frac{x}{26} - \frac{1}{26^2}}[/tex3]

ou seja
[tex3](\frac{x}{26} - \frac{1}{26^2})(x^5 + x + 1) = (\frac{x}{26} - \frac{1}{26^2})(x^2 + 5)(x^3-5x) + (x^2 + 5) - 5 - \frac{1}{26^2}[/tex3]

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[tex3](\frac{x}{26} - \frac{1}{26^2})(x^5 + x + 1) = (\frac{x}{26} - \frac{1}{26^2})(x^2 + 5)(x^3-5x) + (x^2 + 5) - 5 - \frac{1}{26^2}[/tex3]

[tex3](26x-1)(x^5 + x + 1) = (x^2 + 5)(5 x - 130x^2 - x^3 + 26 x^4)+ 26^2(x^2 + 5) - 26^2\cdot5 - 1\\[/tex3]

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[tex3](26x-1)(x^5 + x + 1) = (x^2 + 5)(5 x - 130x^2 - x^3 + 26 x^4)+ 26^2(x^2 + 5) - 26^2\cdot5 - 1\\[/tex3]

[tex3](26x-1)(x^5 + x + 1) = (x^2 + 5)(5 x - 130x^2 - x^3 + 26 x^4 + 26^2) - 26^2\cdot5 - 1[/tex3]

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[tex3](26x-1)(x^5 + x + 1) = (x^2 + 5)(5 x - 130x^2 - x^3 + 26 x^4 + 26^2) - 26^2\cdot5 - 1[/tex3]

ai [tex3]A(x) =\frac{(5 x - 130x^2 - x^3 + 26 x^4 + 26^2)}{26^2\cdot5 + 1} [/tex3]

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[tex3]A(x) =\frac{(5 x - 130x^2 - x^3 + 26 x^4 + 26^2)}{26^2\cdot5 + 1} [/tex3]

funciona se eu n fiz nada de errado

obs: esse é o algoritmo de Euclides que a gente usa para encontrar o mdc entre 2 inteiros só q para polinômios