Olimpíadas ⇒ POTI - Teorema de Wilson Tópico resolvido

[goncalves3718]

Seja [tex3]p > 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p > 2[/tex3]

um número primo. Demonstre que

[tex3]\left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (mod \,\, p)[/tex3]

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[tex3]\left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (mod \,\, p)[/tex3]

[Ittalo25]

Como eu já coloquei nessa outra questão viewtopic.php?f=20&t=88568, os resíduos módulo p vêm em pares:

[tex3]x \equiv - (p-x) \mod(p) [/tex3]

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[tex3]x \equiv - (p-x) \mod(p) [/tex3]

Então os resíduos ficam assim:

[tex3]\begin{cases}
1 \equiv -(p-1) \\
2 \equiv -(p-2) \\
..... \\
\frac{p-3}{2} \equiv -(p-\frac{p-3}{2})=-\frac{p+3}{2} \\
\frac{p-1}{2} \equiv -(p-\frac{p-1}{2})=-\frac{p+1}{2}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
1 \equiv -(p-1) \\
2 \equiv -(p-2) \\
..... \\
\frac{p-3}{2} \equiv -(p-\frac{p-3}{2})=-\frac{p+3}{2} \\
\frac{p-1}{2} \equiv -(p-\frac{p-1}{2})=-\frac{p+1}{2}
\end{cases}[/tex3]

São [tex3]\frac{p-1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{p-1}{2}[/tex3]

pares, sendo assim:

[tex3](p-1)! \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot \left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \mod(p) [/tex3]

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[tex3](p-1)! \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot \left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \mod(p) [/tex3]

Que pelo teorema de Wilson:
[tex3](-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot \left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv -1\mod(p) [/tex3]

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[tex3](-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot \left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv -1\mod(p) [/tex3]

[tex3](-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot (-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot \left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv (-1)\cdot (-1)^{\frac{p-1}{2}}\mod(p) [/tex3]

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[tex3](-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot (-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot \left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv (-1)\cdot (-1)^{\frac{p-1}{2}}\mod(p) [/tex3]

[tex3](-1)^{\frac{p-1+p-1}{2}}\cdot \left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}+1}\mod(p) [/tex3]

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[tex3](-1)^{\frac{p-1+p-1}{2}}\cdot \left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}+1}\mod(p) [/tex3]

[tex3](-1)^{p-1}\cdot \left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\mod(p) [/tex3]

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[tex3](-1)^{p-1}\cdot \left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\mod(p) [/tex3]

[tex3]\left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\mod(p) [/tex3]

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[tex3]\left(\left( \dfrac{p-1}{2}\right)! \right)^2 \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\mod(p) [/tex3]

[goncalves3718]

Não entendi mas resíduo não tem que ter o elevado a [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

?

[Ittalo25]

Não entendi mas resíduo não tem que ter o elevado a [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

?

No contexto de divisão, resíduo é simplesmente o resto que algum número x deixa quando é dividido por y

[tex3]x \equiv a \mod(y) [/tex3]

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[tex3]x \equiv a \mod(y) [/tex3]

a é resíduo

[tex3]x^2 \equiv a \mod(y) [/tex3]

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[tex3]x^2 \equiv a \mod(y) [/tex3]

a é resíduo quadrático

[tex3]x^3 \equiv a \mod(y) [/tex3]

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[tex3]x^3 \equiv a \mod(y) [/tex3]

a é resíduo cúbico
Cubic reciprocity

[tex3]x^4 \equiv a \mod(y) [/tex3]

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[tex3]x^4 \equiv a \mod(y) [/tex3]

Quartic reciprocity

etc....

quando é resíduo quadrático, eles têm o mesmo sinal, já que estão elevados ao quadrado: [tex3]x^2 \equiv (p-x)^2 \mod(p) [/tex3]

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[tex3]x^2 \equiv (p-x)^2 \mod(p) [/tex3]

Mas quando não, eles têm sinais opostos: [tex3]x \equiv - (p-x) \mod(p) [/tex3]

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[tex3]x \equiv - (p-x) \mod(p) [/tex3]

, por isso que apareceu aquele [tex3](-1)^{\frac{p-1}{2}}[/tex3]

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[tex3](-1)^{\frac{p-1}{2}}[/tex3]

[goncalves3718]

Ahh, entendi!!
Muito obrigado.