Ensino Médio ⇒ (ESPCEX 2020) Polinômios Tópico resolvido

[JW7BR]

Seja f a função quadrática definida por [tex3]f (x)=2x^2+ \(\log_{\frac{1}{3}} k \)x+2,[/tex3]

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[tex3]f (x)=2x^2+ \(\log_{\frac{1}{3}} k \)x+2,[/tex3]

com [tex3]k \in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]k \in \mathbb{R}[/tex3]

e [tex3]k > 0.[/tex3]

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[tex3]k > 0.[/tex3]

O produto dos valores reais de [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

para os quais a função [tex3]f (x[/tex3]

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[tex3]f (x[/tex3]

) tem uma raiz dupla é igual a

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Todas as resoluções começam assim

A raiz dupla em uma equação do segundo grau acontece quando Δ = 0.

Entretanto estou com a seguinte dúvida, para que uma função do segundo grau tenha raiz dupla Δ>0 ? Porque todos resolvem com Δ=0
Essa duvida me apareceu porque resolvendo a questão pensei com Δ>0, acabei chegando na resposta mas acredito que com um pensamento
um pouco errado. Ainda, li sobre multiplicidade e vi que uma uma função com raiz dupla apresenta duas raizes iguais.. enfim, não entendi rsrs

Vamos substituir log1/3 k = t

f(x) = 2x²+ tx+2

Δ = 0
b² - 4ac = 0
t² - 4.2.2 = 0
t² - 16 = 0
t² = 16
t1 = 4 ou t2 = -4

log1/3 k = 4
k = 1/3 4
k1 = 1/81

log1/3 k = -4
k = 1/3 -4
k = 3 4
k2 = 81

[Matheusrpb]

JW7BR, bom dia !

[tex3]∆ > 0: [/tex3]

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[tex3]∆ > 0: [/tex3]

Duas raízes reais distintas;

[tex3]∆<0: [/tex3]

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[tex3]∆<0: [/tex3]

Não existem raízes reais;

[tex3]∆=0: [/tex3]

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[tex3]∆=0: [/tex3]

Duas raízes reais iguais.

Se você for analisar o Bhaskara:

[tex3]x = \frac{-b ±\sqrt ∆}{2a} → ∆ = 0 [/tex3]

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[tex3]x = \frac{-b ±\sqrt ∆}{2a} → ∆ = 0 [/tex3]

[tex3]x= \frac{-b}{2a} [/tex3]

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[tex3]x= \frac{-b}{2a} [/tex3]

Quando isso acontece dizemos que o polinômio tem uma raíz de multiplicidade 2, ou uma raíz dupla.

[JW7BR]

Matheusrpb, entendi muito obrigado!