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Resposta
[tex3]AB=20[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 2003) Geometria Plana Tópico resolvido
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lincoln1000
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Nov 2017
09
18:47
(FUVEST 2003) Geometria Plana
No trapézio [tex3]ABCD[/tex3]
, [tex3]M [/tex3]
é ponto médio do lado [tex3]AD[/tex3]
; [tex3]N [/tex3]
está sobre o lado [tex3]BC [/tex3]
e [tex3]2BN = NC[/tex3]
. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros [tex3]ABNM [/tex3]
e [tex3]CDMN [/tex3]
são iguais e que [tex3]DC = 10[/tex3]
. Calcule [tex3]AB[/tex3]
[tex3]AB=20[/tex3]
[tex3]AB=20[/tex3]
Editado pela última vez por lincoln1000 em 09 Nov 2017, 18:48, em um total de 1 vez.
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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joaopcarv
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Nov 2017
09
20:24
Re: (FUVEST 2003) Geometria Plana
Anexo [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]A_{(\triangle)} \ = \ \frac{L_{_1} \ \cdot \ L_{_2} \ \cdot \ \cdot \ sen(\epsilon)}{2} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]A_{(\triangle)} \ =[/tex3] Área do triângulo de lados [tex3]L_{_1}[/tex3] e [tex3]L_{_2}[/tex3] com o ângulo [tex3]\epsilon[/tex3] entre tais lados.
Antes de tudo, da diferença de arcos, para [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] tais que : [tex3]\alpha \ + \ \beta \ = \ 180^\circ[/tex3] , temos [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]sen(\alpha) \ = \ sen(180^\circ \ - \ \beta) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]sen(\alpha) \ = \ \cancelto{0}{sen(180^\circ)} \ \cdot \ cos(\beta) \ - \ \cancelto{-1}{cos(180^\circ)} \ \cdot \ sen(\beta) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{sen(\alpha) \ = \ sen(\beta)} \ \Rightarrow[/tex3] São ângulos suplementares!
Veja que, do trapézio, [tex3]AB[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] são os lados paralelos ([tex3]AB \ \parallel \ CD[/tex3] ).
Veja que [tex3]NMDC[/tex3] é composto pelos [tex3]\triangle NMD[/tex3] e [tex3]\triangle NCD[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{_{(NMDC)}} \ = \ A_{_{(\triangle NMD)}} \ + \ A_{_{(\triangle NCD)}}}[/tex3]
Por sua vez, [tex3]NMBA[/tex3] é composto pelos [tex3]\triangle NBA[/tex3] e [tex3]\triangle NAM[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{_{(NMBA)}} \ = \ A_{_{(\triangle NBA)}} \ + \ A_{_{(\triangle NAM)}}}[/tex3]
Do enunciado, [tex3]A_{_{(NMDC)}} \ = \ A_{_{(NMBA)}} \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{_{(\triangle NMD)}} \ + \ A_{_{(\triangle NCD)}} \ = \ A_{_{(\triangle NBA)}} \ + \ A_{_{(\triangle NAM)}}} \ \rightarrow[/tex3]
Vamos primeiro considerar os [tex3]\triangle NAM[/tex3] e [tex3]\triangle NMD[/tex3] .
[tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]AD[/tex3] : [tex3]AM \ = \ MD;[/tex3]
[tex3]\longrightarrow[/tex3] Os ângulos [tex3]\lambda[/tex3] e [tex3]\phi[/tex3] formam um raso :
[tex3]\bullet\lambda \ + \ \phi \ = \ 180^\circ\ \Rightarrow \ \boxed{sen(\lambda) \ = \ sen(\phi)}[/tex3]
[tex3]\longrightarrow[/tex3] As suas áreas podem ser calculadas por :
[tex3]\bullet[/tex3] [tex3]A_{_{\triangle NAM}} \ = \ \frac{MD \ \cdot \ NM \ \cdot \ sen(\phi)}{2}[/tex3] e [tex3]A_{_{\triangle NMD}} \ = \ \frac{AM \ \cdot \ NM \ \cdot \ sen(\lambda)}{2}[/tex3] [tex3]\dots[/tex3]
Mas sendo [tex3]AM \ = \ MD[/tex3] e [tex3]sen(\lambda) \ = \ sen(\phi)[/tex3] , então as áreas A_{_{\triangle NAM}} e A_{_{\triangle NMD}} são iguais.
[tex3]\cancel{A_{_{(\triangle NMD)}}} \ + \ A_{_{(\triangle NCD)}} \ = \ A_{_{(\triangle NBA)}} \ + \ \cancel{A_{_{(\triangle NAM)}}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{_{(\triangle NCD)}} \ = \ A_{_{(\triangle NBA)}}}[/tex3]
Primeiro veja que, sendo [tex3]NC \ = \ 2 \ \cdot \ NB \ \therefore \ \boxed{NC \ = \ \frac{2 \ \cdot \ BC}{3} \ | \ NB \ = \ \frac{BC}{3}}[/tex3]
Agora, sendo [tex3]AB \ \parallel \ CD[/tex3] , temos uma propriedade de retas paralelas com uma transversal (no caso [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AD[/tex3] ) [tex3]\dots[/tex3]
Veja que, ao prolongarmos esses lados, aparece para nós os ângulos suplementares [tex3]\xi[/tex3] e [tex3]\zeta[/tex3] .
Da mesma forma, [tex3]\boxed{sen(\zeta) \ = \ sen(\xi)}[/tex3] ... Voltando à expressão [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{\cancelto{10}{CD} \ \cdot \ \frac{2 \ \cdot \ \cancel{BC}}{\cancel{3}} \ \cdot \ \cancel{sen(\zeta)}}{\cancel{2}} \ = \ \frac{AB \ \cdot \ \frac{\cancel{BC}}{\cancel{3}} \ \cdot \ \cancel{sen(\xi)}}{\cancel{2}} \
\rightarrow[/tex3]
[tex3]10 \ \cdot \ 2 \ = \ AB \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{AB \ = \ 20}}[/tex3]
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[tex3]A_{(\triangle)} \ =[/tex3] Área do triângulo de lados [tex3]L_{_1}[/tex3] e [tex3]L_{_2}[/tex3] com o ângulo [tex3]\epsilon[/tex3] entre tais lados.
Antes de tudo, da diferença de arcos, para [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] tais que : [tex3]\alpha \ + \ \beta \ = \ 180^\circ[/tex3] , temos [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]sen(\alpha) \ = \ sen(180^\circ \ - \ \beta) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]sen(\alpha) \ = \ \cancelto{0}{sen(180^\circ)} \ \cdot \ cos(\beta) \ - \ \cancelto{-1}{cos(180^\circ)} \ \cdot \ sen(\beta) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{sen(\alpha) \ = \ sen(\beta)} \ \Rightarrow[/tex3] São ângulos suplementares!
Veja que, do trapézio, [tex3]AB[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] são os lados paralelos ([tex3]AB \ \parallel \ CD[/tex3] ).
Veja que [tex3]NMDC[/tex3] é composto pelos [tex3]\triangle NMD[/tex3] e [tex3]\triangle NCD[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{_{(NMDC)}} \ = \ A_{_{(\triangle NMD)}} \ + \ A_{_{(\triangle NCD)}}}[/tex3]
Por sua vez, [tex3]NMBA[/tex3] é composto pelos [tex3]\triangle NBA[/tex3] e [tex3]\triangle NAM[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{_{(NMBA)}} \ = \ A_{_{(\triangle NBA)}} \ + \ A_{_{(\triangle NAM)}}}[/tex3]
Do enunciado, [tex3]A_{_{(NMDC)}} \ = \ A_{_{(NMBA)}} \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{_{(\triangle NMD)}} \ + \ A_{_{(\triangle NCD)}} \ = \ A_{_{(\triangle NBA)}} \ + \ A_{_{(\triangle NAM)}}} \ \rightarrow[/tex3]
Vamos primeiro considerar os [tex3]\triangle NAM[/tex3] e [tex3]\triangle NMD[/tex3] .
[tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]AD[/tex3] : [tex3]AM \ = \ MD;[/tex3]
[tex3]\longrightarrow[/tex3] Os ângulos [tex3]\lambda[/tex3] e [tex3]\phi[/tex3] formam um raso :
[tex3]\bullet\lambda \ + \ \phi \ = \ 180^\circ\ \Rightarrow \ \boxed{sen(\lambda) \ = \ sen(\phi)}[/tex3]
[tex3]\longrightarrow[/tex3] As suas áreas podem ser calculadas por :
[tex3]\bullet[/tex3] [tex3]A_{_{\triangle NAM}} \ = \ \frac{MD \ \cdot \ NM \ \cdot \ sen(\phi)}{2}[/tex3] e [tex3]A_{_{\triangle NMD}} \ = \ \frac{AM \ \cdot \ NM \ \cdot \ sen(\lambda)}{2}[/tex3] [tex3]\dots[/tex3]
Mas sendo [tex3]AM \ = \ MD[/tex3] e [tex3]sen(\lambda) \ = \ sen(\phi)[/tex3] , então as áreas A_{_{\triangle NAM}} e A_{_{\triangle NMD}} são iguais.
[tex3]\cancel{A_{_{(\triangle NMD)}}} \ + \ A_{_{(\triangle NCD)}} \ = \ A_{_{(\triangle NBA)}} \ + \ \cancel{A_{_{(\triangle NAM)}}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{_{(\triangle NCD)}} \ = \ A_{_{(\triangle NBA)}}}[/tex3]
Primeiro veja que, sendo [tex3]NC \ = \ 2 \ \cdot \ NB \ \therefore \ \boxed{NC \ = \ \frac{2 \ \cdot \ BC}{3} \ | \ NB \ = \ \frac{BC}{3}}[/tex3]
Agora, sendo [tex3]AB \ \parallel \ CD[/tex3] , temos uma propriedade de retas paralelas com uma transversal (no caso [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AD[/tex3] ) [tex3]\dots[/tex3]
Veja que, ao prolongarmos esses lados, aparece para nós os ângulos suplementares [tex3]\xi[/tex3] e [tex3]\zeta[/tex3] .
Da mesma forma, [tex3]\boxed{sen(\zeta) \ = \ sen(\xi)}[/tex3] ... Voltando à expressão [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{\cancelto{10}{CD} \ \cdot \ \frac{2 \ \cdot \ \cancel{BC}}{\cancel{3}} \ \cdot \ \cancel{sen(\zeta)}}{\cancel{2}} \ = \ \frac{AB \ \cdot \ \frac{\cancel{BC}}{\cancel{3}} \ \cdot \ \cancel{sen(\xi)}}{\cancel{2}} \
\rightarrow[/tex3]
[tex3]10 \ \cdot \ 2 \ = \ AB \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{AB \ = \ 20}}[/tex3]
Editado pela última vez por joaopcarv em 09 Nov 2017, 20:26, em um total de 2 vezes.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
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09
21:13
Re: (FUVEST 2003) Geometria Plana
Muito agradecido joaopcarv! não tinha enxergado essa resolução ainda rsrs valeu
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Nov 2017
10
01:10
Re: (FUVEST 2003) Geometria Plana
De nada, meu amigolincoln1000 escreveu: ↑09 Nov 2017, 21:13 Muito agradecido joaopcarv! não tinha enxergado essa resolução ainda rsrs valeu
sigamos fazendo Fuvest haha [tex3]16[/tex3]
dias só 
Deu para entender mesmo?! Ainda não sei muito bem organizar o meu [tex3]LaTeX[/tex3] ...
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10
01:29
Re: (FUVEST 2003) Geometria Plana
Entendi sim cara, perfeitamente 
Pena que agora acabou as questões da fuvest, terminei de fazer as 16 últimas provas, primeira e segunda fase, uffa...
Valeu pela força!!
Pena que agora acabou as questões da fuvest, terminei de fazer as 16 últimas provas, primeira e segunda fase, uffa...
Valeu pela força!!
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