Pré-Vestibular ⇒ UTFPR - Tronco De Pirâmide Tópico resolvido

[Vestibinha]

Uma pirâmide hexagonal regular, com a aresta da base 9 cm e a aresta lateral 15 cm, foi secionada por dois planos paralelos à sua base que dividiram sua altura em três partes iguais. A parte da pirâmide, compreendida entre esses planos, tem volume, em cm³, igual a:

[jomatlove]

Resolução:
Altura da pirâmide:
[tex3]h^{2}+9^{2}=15^{2}\rightarrow h=12[/tex3]

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[tex3]h^{2}+9^{2}=15^{2}\rightarrow h=12[/tex3]

Área da base da piramide:
[tex3]A_{b}=6.\frac{9^{2}.\sqrt{3}}{4}=\frac{243\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]A_{b}=6.\frac{9^{2}.\sqrt{3}}{4}=\frac{243\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Volume da piramide:
[tex3]V=\frac{1}{3}.A_{b}.h=\frac{1}{3}.\frac{243\sqrt{3}}{2}.12=486\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{1}{3}.A_{b}.h=\frac{1}{3}.\frac{243\sqrt{3}}{2}.12=486\sqrt{3}[/tex3]

Sejam:
[tex3]V_{1}=[/tex3]

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[tex3]V_{1}=[/tex3]

volume entre o vertice e o primeiro plano
[tex3]V_{2}=[/tex3]

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[tex3]V_{2}=[/tex3]

volume entre os dois planos
[tex3]V_{3}=[/tex3]

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[tex3]V_{3}=[/tex3]

volume entre o segundo plano e a base
Relação entre volumes:
[tex3]\frac{V_{1}}{V}=\frac{4^{3}}{12^{3}}\rightarrow \frac{V_{1}}{486\sqrt{3}}=\frac{1}{27}\rightarrow V_{1}=18\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{V_{1}}{V}=\frac{4^{3}}{12^{3}}\rightarrow \frac{V_{1}}{486\sqrt{3}}=\frac{1}{27}\rightarrow V_{1}=18\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\frac{V_{1}+V_{2}}{V}=\frac{8^{3}}{12^{3}}=\frac{8}{27}[/tex3]

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[tex3]\frac{V_{1}+V_{2}}{V}=\frac{8^{3}}{12^{3}}=\frac{8}{27}[/tex3]

[tex3]V_{1}+V_{2}=\frac{8}{27}.V=\frac{8}{27}.486\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]V_{1}+V_{2}=\frac{8}{27}.V=\frac{8}{27}.486\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]V_{1}+V_{2}=144\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]V_{1}+V_{2}=144\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]18\sqrt{3}+V_{2}=144\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]18\sqrt{3}+V_{2}=144\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]V_{2}=144\sqrt{3}-18\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]V_{2}=144\sqrt{3}-18\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]V_{2}=126\sqrt{3}cm^{3}[/tex3]

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[tex3]V_{2}=126\sqrt{3}cm^{3}[/tex3]