Ensino Médio ⇒ Geometria analítica

[jomatlove]

O ponto Q da curva [tex3]y=x^{2}[/tex3]

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[tex3]y=x^{2}[/tex3]

,cuja distancia ao ponto P(-3,0) é a menor possível ,tem coordenadas

a)(-1,1) b)(-1,0) c)(-3,9) d)(1,1) e)(([tex3]\sqrt{5},5)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{5},5)[/tex3]

[undefinied3]

A distância é a menor possível quando pudermos traçar uma perpendicular a reta tangente ao gráfico que passe por esse ponto.

[tex3]y'=2x[/tex3]

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[tex3]y'=2x[/tex3]

[tex3]m.y'=-1 \rightarrow m=-\frac{1}{2x}[/tex3]

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[tex3]m.y'=-1 \rightarrow m=-\frac{1}{2x}[/tex3]

Queremos o ponto Q:(a,b), então [tex3]m=-\frac{1}{2a}[/tex3]

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[tex3]m=-\frac{1}{2a}[/tex3]

Como a reta passa por (-3,0), temos:
[tex3]y=-\frac{1}{2a}(x+3)[/tex3]

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[tex3]y=-\frac{1}{2a}(x+3)[/tex3]

Mas essa reta também passa pelo ponto Q, e sabemos que b se relaciona com a por [tex3]b=a^2[/tex3]

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[tex3]b=a^2[/tex3]

, já que Q está na curva. Assim:
[tex3]b=-\frac{1}{2a}(a+3) \rightarrow a^2=-\frac{1}{2a}(a+3) \rightarrow 2a^3+a+3=0[/tex3]

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[tex3]b=-\frac{1}{2a}(a+3) \rightarrow a^2=-\frac{1}{2a}(a+3) \rightarrow 2a^3+a+3=0[/tex3]

[tex3]a=-1[/tex3]

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[tex3]a=-1[/tex3]

pois as outras soluções são complexas. Assim, [tex3]b=1[/tex3]

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[tex3]b=1[/tex3]

e temos
[tex3]Q:(-1,1)[/tex3]

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[tex3]Q:(-1,1)[/tex3]