Resposta
[tex3]\mathbb{R}-58[/tex3]
IME / ITA ⇒ (Farias Brito) Função Composta Tópico resolvido
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Gu178
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Mar 2017
29
13:00
(Farias Brito) Função Composta
A função f, definida por [tex3]f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex3]
, onde a, b, c, d são números reais não nulos, tem as propriedades f(19)=19, f(97)=97 e f(f(x))=x, para todos os valores de x, exceto [tex3]-\frac{d}{c}[/tex3]
. Determine o domínio de f.
[tex3]\mathbb{R}-58[/tex3]
[tex3]\mathbb{R}-58[/tex3]
Editado pela última vez por Gu178 em 29 Mar 2017, 13:00, em um total de 1 vez.
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jedi
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Mar 2017
29
20:57
Re: (Farias Brito) Função Composta
[tex3]f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex3]
[tex3]f(f(x))=\frac{a.\frac{ax+b}{cx+d}+b}{c.\frac{ax+b}{cx+d}+d}=x[/tex3]
[tex3]\frac{a^2x+ab+bcx+bd}{cax+cb+cdx+d^2}=x[/tex3]
[tex3](ca+cd)x^2+(d^2-a^2+cb-bc)x-ab-bd=0[/tex3]
[tex3]c(a+d)x^2+(d^2-a^2)x-b(a+d)=0[/tex3]
como c e d são diferentes de 0,para a equação ser satisfeita para quaisquer valores de x: [tex3]d=-a[/tex3]
[tex3]f(19)=\frac{19a+b}{19c-a}=19[/tex3]
[tex3]19^2c-19a=19a+b[/tex3]
[tex3]19^2c=2.19a+b[/tex3]
[tex3]f(87)=\frac{87a+b}{87c-a}=87[/tex3]
[tex3]87^2c-87a=87a+b[/tex3]
[tex3]87^2c=2.87a+b[/tex3]
subtraindo a primeira equação da segunda
[tex3](97-19)^2c=2(97-19)a+b-b[/tex3]
[tex3](97+19)(97-19)c=2(97-19)a[/tex3]
[tex3](97+19)c=2a[/tex3]
[tex3]a=\frac{116}{2}c=58c[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{58c.x+b}{c.x-58c}[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{58c.x+b}{c(x-58)}[/tex3]
portanto quando x=58 a função é indefinida então o domino são os valores reais excluído o 58
[tex3]f(f(x))=\frac{a.\frac{ax+b}{cx+d}+b}{c.\frac{ax+b}{cx+d}+d}=x[/tex3]
[tex3]\frac{a^2x+ab+bcx+bd}{cax+cb+cdx+d^2}=x[/tex3]
[tex3](ca+cd)x^2+(d^2-a^2+cb-bc)x-ab-bd=0[/tex3]
[tex3]c(a+d)x^2+(d^2-a^2)x-b(a+d)=0[/tex3]
como c e d são diferentes de 0,para a equação ser satisfeita para quaisquer valores de x: [tex3]d=-a[/tex3]
[tex3]f(19)=\frac{19a+b}{19c-a}=19[/tex3]
[tex3]19^2c-19a=19a+b[/tex3]
[tex3]19^2c=2.19a+b[/tex3]
[tex3]f(87)=\frac{87a+b}{87c-a}=87[/tex3]
[tex3]87^2c-87a=87a+b[/tex3]
[tex3]87^2c=2.87a+b[/tex3]
subtraindo a primeira equação da segunda
[tex3](97-19)^2c=2(97-19)a+b-b[/tex3]
[tex3](97+19)(97-19)c=2(97-19)a[/tex3]
[tex3](97+19)c=2a[/tex3]
[tex3]a=\frac{116}{2}c=58c[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{58c.x+b}{c.x-58c}[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{58c.x+b}{c(x-58)}[/tex3]
portanto quando x=58 a função é indefinida então o domino são os valores reais excluído o 58
Editado pela última vez por jedi em 29 Mar 2017, 20:57, em um total de 1 vez.
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