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[tex3]3+2\sqrt{2}[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (UFJF - MG) Geometria Analítica - Áreas
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GagHawthorne
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Jul 2016
20
12:00
(UFJF - MG) Geometria Analítica - Áreas
Considere o triângulo limitado pelas retas [tex3]y= x[/tex3]
, [tex3]y=-x+2[/tex3]
e [tex3]y =ax[/tex3]
, com [tex3]a>1[/tex3]
. O valor de [tex3]a[/tex3]
, de forma que a área desse triângulo seja [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
é:
[tex3]3+2\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]3+2\sqrt{2}[/tex3]
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Razão: tex --> tex3
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Ittalo25
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Jul 2016
20
17:07
Re: (UFJF - MG) Geometria Analítica - Áreas
[tex3]y = x[/tex3]
e [tex3]y = -x+2[/tex3]
são perpendiculares entre si, já que o produto dos seus coeficientes angulares é igual a -1.
Logo o triângulo é retângulo.
O ponto de intersecção é (1,1), logo a base do triângulo é [tex3]\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}[/tex3]
Portanto a altura do triângulo, que é a distância do ponto (1,1) ao ponto (x,ax) deve ser igual a 1:
[tex3]\sqrt{(x-1)^2+(ax-1)^2} = 1[/tex3]
Mas do ponto de intersecção:
[tex3]\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=ax
\end{cases}[/tex3]
[tex3]-x + 2 = ax \rightarrow x = \frac{2}{a+1}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]\sqrt{(x-1)^2+(ax-1)^2} = 1[/tex3]
[tex3]\sqrt{( \frac{2}{a+1}-1)^2+( \frac{2a}{a+1}-1)^2} = 1[/tex3]
[tex3]a = 3 + 2\sqrt{2}[/tex3]
Logo o triângulo é retângulo.
O ponto de intersecção é (1,1), logo a base do triângulo é [tex3]\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}[/tex3]
Portanto a altura do triângulo, que é a distância do ponto (1,1) ao ponto (x,ax) deve ser igual a 1:
[tex3]\sqrt{(x-1)^2+(ax-1)^2} = 1[/tex3]
Mas do ponto de intersecção:
[tex3]\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=ax
\end{cases}[/tex3]
[tex3]-x + 2 = ax \rightarrow x = \frac{2}{a+1}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]\sqrt{(x-1)^2+(ax-1)^2} = 1[/tex3]
[tex3]\sqrt{( \frac{2}{a+1}-1)^2+( \frac{2a}{a+1}-1)^2} = 1[/tex3]
[tex3]a = 3 + 2\sqrt{2}[/tex3]
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Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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