Ensino Médio ⇒ Função Exponencial/Logarítmica Tópico resolvido

[0Kelvin]

Em um dia num campus universitário, quando há A alunos presentes, 20% desses alunos souberam de uma notícia sobre um escândalo político local. Após t horas F(t) alunos já sabiam do escândalo, onde [tex3]F(t) =\frac{A}{1 + Be^{Akt}}[/tex3]

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[tex3]F(t) =\frac{A}{1 + Be^{Akt}}[/tex3]

, k e B são constantes positivas. Se 50% dos alunos sabiam do escândalo após 1 hora, quanto tempo levou para que 80% dos alunos soubessem desse escândalo?

A) 2 horas

B) 3 horas

C) 4 horas

D) 5 horas

E) 6 horas

Resposta:

Resposta

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A

[Toplel94]

Temos então a função geral em t horas: [tex3]F(t) =\frac{A}{1 + Be^{Akt}}[/tex3]

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[tex3]F(t) =\frac{A}{1 + Be^{Akt}}[/tex3]

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No início 20% dos alunos A sabiam do escândalo: [tex3]F(0)=\dfrac{20A}{100}=\dfrac{A}{5}[/tex3]

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[tex3]F(0)=\dfrac{20A}{100}=\dfrac{A}{5}[/tex3]

Então:
[tex3]F(0)= \dfrac{A}{1+B}=\dfrac{A}{5} \Rightarrow B=4[/tex3]

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[tex3]F(0)= \dfrac{A}{1+B}=\dfrac{A}{5} \Rightarrow B=4[/tex3]

Após 1 hora, 50% desses alunos sabiam: [tex3]F(1)=\dfrac{50A}{100}=\dfrac{A}{2}[/tex3]

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[tex3]F(1)=\dfrac{50A}{100}=\dfrac{A}{2}[/tex3]

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Então:
[tex3]F(1)=\dfrac{A}{2}=\dfrac{A}{1+4e^{Ak}} \Rightarrow 1+4e^{AK}=2 \Rightarrow e^{AK}=\dfrac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]F(1)=\dfrac{A}{2}=\dfrac{A}{1+4e^{Ak}} \Rightarrow 1+4e^{AK}=2 \Rightarrow e^{AK}=\dfrac{1}{4}[/tex3]

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Sabendo que:
[tex3]e^x=y \Leftrightarrow ln(y)=x[/tex3]

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[tex3]e^x=y \Leftrightarrow ln(y)=x[/tex3]

Temos: [tex3]ln(\dfrac{1}{4})=AK \Rightarrow K=\dfrac{ln(1/4)}{A}[/tex3]

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[tex3]ln(\dfrac{1}{4})=AK \Rightarrow K=\dfrac{ln(1/4)}{A}[/tex3]

Então o tempo que levou para 80%, será:

[tex3]F(t)= \dfrac{80A}{100}=\dfrac{4A}{5}=\dfrac{A}{1+4e^{ln(1/4) \cdot t}} \Rightarrow 4+16e^{tln(1/4)}=5[/tex3]

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[tex3]F(t)= \dfrac{80A}{100}=\dfrac{4A}{5}=\dfrac{A}{1+4e^{ln(1/4) \cdot t}} \Rightarrow 4+16e^{tln(1/4)}=5[/tex3]

[tex3]\therefore[/tex3]

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[tex3]\therefore[/tex3]

[tex3]e^{ln[(1/4)^t]}=\dfrac{1}{16} \Rightarrow (\dfrac{1}{4})^t=\dfrac{1}{16} \Rightarrow t=2[/tex3]

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[tex3]e^{ln[(1/4)^t]}=\dfrac{1}{16} \Rightarrow (\dfrac{1}{4})^t=\dfrac{1}{16} \Rightarrow t=2[/tex3]

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