Ensino Superior ⇒ Angulo entre bissetriz e mediatriz.

[Marlon314]

O polígono ABCD ... de gênero n é equiângulo. Determine o angulo formado pela bissetriz interna do angulo A com a mediatriz do lado BC

p.s. postei esse exercício no fórum do ensino médio, mas acho que aqui no ensino superior é o lugar dele.

[baltuilhe]

Boa noite!

A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados vale:
[tex3]S_n=180(n-2)[/tex3]

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[tex3]S_n=180(n-2)[/tex3]

Então, cada ângulo interno deste polígono equiângulo valerá:
[tex3]a_n=\frac{S_n}{n}=\frac{180(n-2)}{n}=180\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)[/tex3]

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[tex3]a_n=\frac{S_n}{n}=\frac{180(n-2)}{n}=180\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)[/tex3]

No vértice A teremos a metade deste ângulo:
[tex3]\hat{A}=^1/_2\cdot 180\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)=90\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)[/tex3]

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[tex3]\hat{A}=^1/_2\cdot 180\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)=90\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)[/tex3]

Como queremos determinar o ângulo formado entre esta bissetriz e a mediatriz do lado BC, teremos um quadrilátero ABMO, onde O é o ponto de encontro entre a mediatriz e a bissetriz. O ângulo A já temos, o ângulo B será um ângulo interno deste polígono. O ângulo M (onde M é o ponto médio do segmento BC) valerá 90 graus (mediatriz). Então, por ser um quadrilátero, a soma de seus 4 ângulos internos vale:
[tex3]S_4=180(4-2)=180\cdot2=360^{\circ}[/tex3]

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[tex3]S_4=180(4-2)=180\cdot2=360^{\circ}[/tex3]

Agora, resolvendo o problema:
[tex3]\hat{A}+\hat{B}+\hat{M}+\hat{O}=360^{\circ}\\
90\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)+180\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)+90+\hat{O}=360^{\circ}\\
270\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)+\hat{O}=270^{\circ}\\
\hat{O}=270^{\circ}-270\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)\\
\hat{O}=\frac{270n-270(n-2)}{n}=\frac{270n-270n+270\cdot 2}{n}\\
\hat{O}=\frac{540}{n}[/tex3]

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[tex3]\hat{A}+\hat{B}+\hat{M}+\hat{O}=360^{\circ}\\
90\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)+180\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)+90+\hat{O}=360^{\circ}\\
270\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)+\hat{O}=270^{\circ}\\
\hat{O}=270^{\circ}-270\cdot\left(\frac{n-2}{n}\right)\\
\hat{O}=\frac{270n-270(n-2)}{n}=\frac{270n-270n+270\cdot 2}{n}\\
\hat{O}=\frac{540}{n}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[Marlon314]

Ótimo!!! Obrigado!!!!