Ensino Fundamental ⇒ (CM-Brasilia 2008) Médias Tópico resolvido

[cicero444]

Um grupo de 120 pessoas tem a média aritmética de suas idades a 20 anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de 30 anos, qual a razão, entre o número de mulheres e de homens:
a) [tex3]\frac{4}{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4}{5}[/tex3]

b) [tex3]\frac{1}{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]

c) 2
d) 1
e) 3

[ttbr96]

sejam:
h = número de homens
m = número de mulheres
x = somatório das idades dos homens
y = somatário das idades das mulheres
k = média aritmética das idades dos homens

então:
[tex3]m + h = 120 \Rightarrow m = 120 - h[/tex3]

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[tex3]m + h = 120 \Rightarrow m = 120 - h[/tex3]

[tex3]\frac{x + y}{120} = 20 \Rightarrow x + y = 2400[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x + y}{120} = 20 \Rightarrow x + y = 2400[/tex3]

[tex3]\frac{y}{m} = 30 \Rightarrow y = 30m[/tex3]

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[tex3]\frac{y}{m} = 30 \Rightarrow y = 30m[/tex3]

[tex3]\frac{x}h = k \Rightarrow x = kh[/tex3]

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[tex3]\frac{x}h = k \Rightarrow x = kh[/tex3]

assim:
[tex3]x + y = 2400 \\\\
kh + 30m = 2400 \\\\
kh + 30(120 - h) = 2400 \\\\
30h - kh = 1200 \\\\
h(30 - k) = 1200 \\\\
k = 30 - \frac{1200}h[/tex3]

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[tex3]x + y = 2400 \\\\
kh + 30m = 2400 \\\\
kh + 30(120 - h) = 2400 \\\\
30h - kh = 1200 \\\\
h(30 - k) = 1200 \\\\
k = 30 - \frac{1200}h[/tex3]

como k tem que ser um número natural diferente de zero, então k > 0:
[tex3]30 - \frac{1200}h > 0 \Rightarrow \frac{1200}h < 30[/tex3]

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[tex3]30 - \frac{1200}h > 0 \Rightarrow \frac{1200}h < 30[/tex3]

logo, os valor possíveis para h = {48, 50, 60, 75, 80, 100}
consequentemente: m = {72, 70, 60, 45, 40, 20}

portanto: a razão entre o número de mulheres e de homens possíveis são:
[tex3]\frac{72}{48} = \frac32 \\\\\\
\frac{70}{50} = \frac75 \\\\\\
\frac{60}{60} = 1 \\\\\\
\frac{45}{60} = \frac34 \\\\\\
\frac{40}{80} = \frac12 \\\\\\
\frac{20}{100} = \frac15[/tex3]

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[tex3]\frac{72}{48} = \frac32 \\\\\\
\frac{70}{50} = \frac75 \\\\\\
\frac{60}{60} = 1 \\\\\\
\frac{45}{60} = \frac34 \\\\\\
\frac{40}{80} = \frac12 \\\\\\
\frac{20}{100} = \frac15[/tex3]

deve ser isso.

[cicero444]

A alternativa correta e a C)

[Ivo213]

Boa noite,

A meu ver, a resposta correta deve ser 1/5 (alternativa B)
A alternativa C nos leva a:
Mulheres = 80
Homens = 40

Ora, 80 x 3(a média das idades das mulheres) = 2400, deixando zero para a soma das médias das idades dos homens.

Entretanto, 1/5 nos dá:
Mulheres = 20
Homens = 100

Soma das idades das mulheres = 20*30 = _600 com idade média = 30 anos
Soma das idades dos homens = 100*18 = 1800 com idade média = 18 anos

[AAF]

A solução do Ivo está correta. É (b) mesmo, qualquer outra resposta resulta em valor negativo ou nulo para a média de idade dos homens, algo que pode ser testado por substituição. No gabarito original dessa questão, que aparece no livro Noções de Matemática Vol. 0, do Marcelo Rufino a resposta indicada é (c) 2, mas claramente está errada, pois levaria a média de idade dos homens ser zero como o Ivo demonstrou. Não vi a resposta no gabarito oficial do concurso.

[Auto Excluído (ID:19677)]

Por que você supôs ser o k um número natural e não racional e por que na inequação final não fez o h>40?

[Nassurdine]

Peco ajuda exprensao analitica no caso de ter 3 pontos por onde passa a parabola(-3,0);(-1,-1);(1,2)