Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x+2y-4z-12 = 0 e pelos planos coordenados.?
Eu consegui achar as três retas que são a interseção do plano com cada plano coordenado, mas depois disso não sei o que fazer
Ensino Superior ⇒ Tetraedro Tópico resolvido
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Cardoso1979
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Set 2022
03
18:52
Re: Tetraedro
Observe
Uma solução:
Temos um plano π e dentro desse plano temos pontos que interceptam os eixos cartesianos e um ponto que intercepta a origem, e formam juntos um tetraedro:
Vamos iniciar com um ponto que toca o eixo x. Isso significa que y = z = 0 já que o ponto não toca esses eixos e aplicando na função do plano, teremos:
3x + 2y - 4z - 12 = 0
3x + 2.0 - 4.0 = 12
x = 4
Logo, o ponto A pode ser dado por A = ( 4 , 0 , 0 ).
Vamos agora encontrar o ponto B que toca o eixo y , onde x = z = 0 :
0 + 2y - 0 = 12
y = 6
O ponto B pode ser dado por B = ( 0 , 6 , 0 ).
E por fim , calcularemos o ponto C que toca o eixo z , onde x = y = 0 :
0 + 0 - 4z = 12
z = - 3
O ponto C pode ser dado por C = ( 0 , 0 , - 3 ).
E o último ponto chamaremos de O e é dado por O = ( 0 , 0 , 0 ).
O volume pode ser calculado como o módulo do produto misto de três(3) vetores [tex3]\vec{u}[/tex3] , [tex3]\vec{v}[/tex3] e [tex3]\vec{w}[/tex3] dividido por seis (6).
Então , precisamos encontrar três vetores para fazer o produto vetorial misto, achar o módulo desse produto vetorial e dividir por seis, ou seja ,
V = | [tex3]\vec{u} , \vec{v} , \vec{w} [/tex3] |/6
Uma maneira de determinar três vetores desse problema é utilizar os segmentos de reta, ou seja , a distância em que cada ponto tem do centro. Digamos , temos um tetraedro e com isso temos quatro pontos , qual a distância entre eles ?
Vamos pegar a distância entre cada ponto e a origem , chamaremos de [tex3]\vec{OA}[/tex3] , [tex3]\vec{OB}[/tex3] e [tex3]\vec{OC}[/tex3] , e pode ser dado por :
[tex3]\vec{OA}[/tex3] = A - O = ( 4 - 0 , 0 , 0 ) = ( 4 , 0 , 0 )
[tex3]\vec{OB}[/tex3] = ( 0 , 6 , 0 )
[tex3]\vec{OC}[/tex3] = ( 0 , 0 , - 3 ).
Basta montarmos o produto vetorial misto entre eles , vem;
[tex3]\left| \begin{array}{rcr}
4 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0\\
0 & 0 & -3
\end{array} \right|[/tex3] = - 72
Assim,
V = | [tex3]\vec{u} , \vec{v} , \vec{w} [/tex3] |/6
V = | - 72 |/6
V = 72/6 = 12u.v.
Portanto,
V = 12 u.v.
Excelente estudo!
Uma solução:
Temos um plano π e dentro desse plano temos pontos que interceptam os eixos cartesianos e um ponto que intercepta a origem, e formam juntos um tetraedro:
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Vamos iniciar com um ponto que toca o eixo x. Isso significa que y = z = 0 já que o ponto não toca esses eixos e aplicando na função do plano, teremos:
3x + 2y - 4z - 12 = 0
3x + 2.0 - 4.0 = 12
x = 4
Logo, o ponto A pode ser dado por A = ( 4 , 0 , 0 ).
Vamos agora encontrar o ponto B que toca o eixo y , onde x = z = 0 :
0 + 2y - 0 = 12
y = 6
O ponto B pode ser dado por B = ( 0 , 6 , 0 ).
E por fim , calcularemos o ponto C que toca o eixo z , onde x = y = 0 :
0 + 0 - 4z = 12
z = - 3
O ponto C pode ser dado por C = ( 0 , 0 , - 3 ).
E o último ponto chamaremos de O e é dado por O = ( 0 , 0 , 0 ).
O volume pode ser calculado como o módulo do produto misto de três(3) vetores [tex3]\vec{u}[/tex3] , [tex3]\vec{v}[/tex3] e [tex3]\vec{w}[/tex3] dividido por seis (6).
Então , precisamos encontrar três vetores para fazer o produto vetorial misto, achar o módulo desse produto vetorial e dividir por seis, ou seja ,
V = | [tex3]\vec{u} , \vec{v} , \vec{w} [/tex3] |/6
Uma maneira de determinar três vetores desse problema é utilizar os segmentos de reta, ou seja , a distância em que cada ponto tem do centro. Digamos , temos um tetraedro e com isso temos quatro pontos , qual a distância entre eles ?
Vamos pegar a distância entre cada ponto e a origem , chamaremos de [tex3]\vec{OA}[/tex3] , [tex3]\vec{OB}[/tex3] e [tex3]\vec{OC}[/tex3] , e pode ser dado por :
[tex3]\vec{OA}[/tex3] = A - O = ( 4 - 0 , 0 , 0 ) = ( 4 , 0 , 0 )
[tex3]\vec{OB}[/tex3] = ( 0 , 6 , 0 )
[tex3]\vec{OC}[/tex3] = ( 0 , 0 , - 3 ).
Basta montarmos o produto vetorial misto entre eles , vem;
[tex3]\left| \begin{array}{rcr}
4 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0\\
0 & 0 & -3
\end{array} \right|[/tex3] = - 72
Assim,
V = | [tex3]\vec{u} , \vec{v} , \vec{w} [/tex3] |/6
V = | - 72 |/6
V = 72/6 = 12u.v.
Portanto,
V = 12 u.v.
Excelente estudo!
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