01) p . q < 0
02) A soma das raízes da equação é 4.
04) O produto das raízes da equação é 4.
08) p + q < 0
Resposta
soma:07
Pré-Vestibular ⇒ (UEPG-2011) Números complexos Tópico resolvido
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FabioKatsuo
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Nov 2014
18
20:23
(UEPG-2011) Números complexos
Sabendo que a equação x³– 4x²+ px + q = 0 admite o número complexo z = 1 + i como raiz, assinale o que for correto.
01) p . q < 0
02) A soma das raízes da equação é 4.
04) O produto das raízes da equação é 4.
08) p + q < 0
soma:07
Olá pessoal do fórum, se alguém puder me ajudar nesse exercício agradeço desde já.
01) p . q < 0
02) A soma das raízes da equação é 4.
04) O produto das raízes da equação é 4.
08) p + q < 0
soma:07
Editado pela última vez por FabioKatsuo em 18 Nov 2014, 20:23, em um total de 1 vez.
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Ittalo25
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Nov 2014
18
21:01
Re: (UEPG-2011) Números complexos
Olá,
O conjugado de Z também seria raiz da equação se todos os coeficientes fossem reais (p e q reais), a questão não afirma isso. Não vi outro modo de resolver então vou admitir que o conjugado de z também é raiz (1-i):
Por Girard: (y = terceira raiz)
[tex3]\frac{-b}{a} = 1+i+1-i+y[/tex3]
[tex3]\frac{4}{1} = 2+y[/tex3]
[tex3]2=y[/tex3]
Na forma fatorada da equação:
[tex3]1.(x-1-i).(x-1+i).(x-2)=0[/tex3]
[tex3]x^3-4x^2+6x-4 = 0[/tex3]
Logo:
p = 6
q = -4
O conjugado de Z também seria raiz da equação se todos os coeficientes fossem reais (p e q reais), a questão não afirma isso. Não vi outro modo de resolver então vou admitir que o conjugado de z também é raiz (1-i):
Por Girard: (y = terceira raiz)
[tex3]\frac{-b}{a} = 1+i+1-i+y[/tex3]
[tex3]\frac{4}{1} = 2+y[/tex3]
[tex3]2=y[/tex3]
Na forma fatorada da equação:
[tex3]1.(x-1-i).(x-1+i).(x-2)=0[/tex3]
[tex3]x^3-4x^2+6x-4 = 0[/tex3]
Logo:
p = 6
q = -4
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FabioKatsuo
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Nov 2014
18
21:26
Re: (UEPG-2011) Números complexos
Olá Ittalo25, eu fui resolver novamente a questão e cheguei na resposta certa, porém eu não sei se existe esse método de resposta.
O que eu fiz foi o seguinte:
1º Deduzi também que uma das respostas é o conjugado de z, logo [tex3]1-i[/tex3]
2º Substitui os dois valores de z no lugar de x
[tex3](1+i)^{3} -4(1+i)^{2} + p(1+i) +q =0[/tex3]
Resolvendo a equação temos:
[tex3]-2+p+q-6i+pi[/tex3]
A segunda equação seria com o valor do conjugado, temos:
[tex3](1-i)^{3}-4(1-i)^{2}+p(1-i)+q=0[/tex3]
Resolvendo a equação temos:
[tex3]-2+p+q+6i-pi=0[/tex3]
3º Igualei as duas equações:
[tex3]-2+p+q+6i-pi=-2+p+q-6i+pi[/tex3]
[tex3]12i=2pi[/tex3]
[tex3]p=6[/tex3]
4º Substitui o valor de p em uma das equações obtendo:
[tex3]-2+p+q-6i+pi=0[/tex3]
[tex3]-2+6+q-6i+6i=0[/tex3]
[tex3]q=-4[/tex3]
Faz algum sentido essa minha resolução? Ou foi só coincidência?
Se alguém puder me explcar, agradeço desde já.
O que eu fiz foi o seguinte:
1º Deduzi também que uma das respostas é o conjugado de z, logo [tex3]1-i[/tex3]
2º Substitui os dois valores de z no lugar de x
[tex3](1+i)^{3} -4(1+i)^{2} + p(1+i) +q =0[/tex3]
Resolvendo a equação temos:
[tex3]-2+p+q-6i+pi[/tex3]
A segunda equação seria com o valor do conjugado, temos:
[tex3](1-i)^{3}-4(1-i)^{2}+p(1-i)+q=0[/tex3]
Resolvendo a equação temos:
[tex3]-2+p+q+6i-pi=0[/tex3]
3º Igualei as duas equações:
[tex3]-2+p+q+6i-pi=-2+p+q-6i+pi[/tex3]
[tex3]12i=2pi[/tex3]
[tex3]p=6[/tex3]
4º Substitui o valor de p em uma das equações obtendo:
[tex3]-2+p+q-6i+pi=0[/tex3]
[tex3]-2+6+q-6i+6i=0[/tex3]
[tex3]q=-4[/tex3]
Faz algum sentido essa minha resolução? Ou foi só coincidência?
Se alguém puder me explcar, agradeço desde já.
Editado pela última vez por FabioKatsuo em 18 Nov 2014, 21:26, em um total de 1 vez.
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Ittalo25
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Nov 2014
18
21:48
Re: (UEPG-2011) Números complexos
Tá certa a sua resolução 
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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